Abelovu cenu

Len málo čitateľov povie niečo na meno Ábel. Nie, toto nie je o nešťastnom mladíkovi, ktorého zabil jeho vlastný brat Kain. Mám na mysli nórskeho matematika Nielsa Henrika Abela (1802–1829) a po ňom pomenovanú cenu, ktorú práve udelila (16. marca 2016) Nórska akadémia vied a listy Sirovi Andrewovi J. Wilesovi. To kompenzuje matematikov za to, že ich Alfred Nobel vynechal v rebríčku kategórií najvýznamnejšej svetovej ceny za vedu.

Aj keď matematici oceňujú tzv. Fieldsova medaila (oficiálne považovaný za najvyšší vavrín vo svojom odbore), spája sa s ním len 15 tis. (nie milióny, tisíce!) kanadských dolárov až po víťaza Abel Awards vloží do vrecka šek na 6 miliónov nórskych korún (asi 750 8 eur). Laureáti Nobelovej ceny dostávajú 865 miliónov SEK, teda asi XNUMX tisíc. eur - menej ako tenisti za víťazstvo na veľkom turnaji. Existuje niekoľko pravdepodobných dôvodov, prečo Alfred Nobel nezahrnul matematikov medzi možných víťazov ceny. Nobelov testament sa zaoberal „vynálezmi a objavmi“, ktoré prinášajú ľudstvu najväčší úžitok, no pravdepodobne nie teoretický, ale praktický. Matematika sa nepovažovala za vedu, ktorá by mohla priniesť ľudstvu praktické výhody.

Prečo práve Abel

Kto bol Niels Henrik Abel a ako sa stal slávnym? Musel byť geniálny, pretože hoci zomrel na tuberkulózu len ako 27-ročný, v matematike mal stále miesto. No už na strednej škole nás učia riešiť rovnice; prvý stupeň, potom štvorcový a niekedy kubický. Už pred štyristo rokmi si talianski vedci dokázali poradiť kvartická rovnicaaj ten, ktorý vyzerá nevinne:

a ktorého jedným z prvkov

Áno, vedci to mohli urobiť už v XNUMX storočí. Nie je ťažké uhádnuť, že sa brali do úvahy rovnice vyšších stupňov. A nič. Za dvesto rokov sa to nikomu nepodarilo. Neuspel ani Niels Abel. A potom si uvedomil, že ... to možno vôbec nie je možné. Dá sa to dokázať nemožnosť riešenia takejto rovnice - alebo skôr vyjadrenie riešenia v jednoduchých aritmetických vzorcoch.

Bol to prvý z 2. rokov (!) tohto typu uvažovania: niečo sa nedá dokázať, niečo sa nedá. Monopol na takéto dôkazy patrí matematike – praktické vedy čoraz viac búrajú bariéry. V roku 1888 predseda americkej patentovej komisie vyhlásil, že „v budúcnosti možno očakávať len málo vynálezov, pretože takmer všetko už bolo vynájdené“. Dnes je pre nás ťažké sa tomu čo i len zasmiať... Ale v matematike, raz dokázaná, sa to stráca. To sa nedá.

História rozdeľuje objav, ktorý som opísal, medzi Niels Abel i Evarista Galoisová, obaja zomreli pred XNUMX. rokom života, podceňovaní svojimi súčasníkmi. Niels Abel je jeden z mála nórskych matematikov so širokou slávou (v skutočnosti dvaja, druhý je Sophus Lee, 1842-1899 – priezviská neznejú škandinávsky, ale obaja boli rodení Nóri).

Nóri sú v rozpore so Švédmi - bohužiaľ, medzi susednými národmi je to bežné. Jedným z motívov zriadenia Abelovej ceny Nórmi bola túžba ukázať svojim krajanom Alfredovi Nobelovi: prosím, nie sme o nič horší.

Prenasledovanie neexistujúcej marže

Tu je pre vás Niels Henrik Abel. Teraz o víťazovi ceny, 63-ročnom Angličanovi (žijúcemu v USA). Jeho výkon v roku 1993 sa dal prirovnať len k výstupu na Everest, k výstupu na Mesiac alebo niečomu podobnému. kto je pane Andrew Wiles? Ak sa pozriete na zoznam jeho publikácií a rôzne možné citačné indexy, bude to dobrý vedec – sú ich tisíce. Je však považovaný za jedného z najväčších matematikov. Jeho výskum sa týka teórie čísel a využíva vzťahy s algebraická geometria Oraz teória reprezentácie.

Preslávil sa riešením problému, ktorý bol z hľadiska matematiky úplne bezvýznamný dôkaz poslednej Fermatovej vety (kto nevie, čo sa deje - pripomeňte si nižšie). Skutočnou hodnotou však nebolo samotné riešenie, ale vytvorenie novej testovacej metódy, ktorá bola použitá na riešenie mnohých ďalších dôležitých problémov.

Nemožno sa na tomto mieste nezamyslieť nad dôležitosťou určitých záležitostí, nad hierarchiou ľudských úspechov. Státisíce mladých ľudí snívajú o tom, že budú kopať do lopty lepšie ako ostatní, desaťtisíce sa chcú vystaviť himalájskym vetrom, skákať z gumy na moste, vydávať zvuky, ktoré nazývajú spevom, pchať do iných nezdravé jedlo ... resp. vyriešiť pre nikoho zbytočnú rovnicu . Prvý dobyvateľ Mount Everestu, Sir Edward Hillary, odpovedal priamo na otázku, prečo tam išiel: "Pretože je, lebo Everest je!" Autor týchto slov bol celý život matematik, bol to môj recept na život. Jediný správny! Ale nechajme túto filozofiu za sebou. Vráťme sa na zdravú cestu matematiky. Prečo ten rozruch okolo Fermatovej vety?

Asi všetci vieme, čo sú zač základné čísla. Určite každý rozumie slovnému spojeniu „rozložiť sa na prvočiniteľa“, najmä keď náš syn mení hodinky na súčiastky.

Pierre de Fermat (1601-1665) bol právnik z Toulouse, ale zaoberal sa aj amatérskou matematikou a to s celkom dobrými výsledkami, pretože sa do dejín matematiky zapísal ako autor mnohých viet z teórie a analýzy čísel. Svoje poznámky a komentáre dával na okraje kníh, ktoré čítal. A presne - okolo roku 1660 napísal na jeden z okrajov:

Tu je pre vás Pierre de Fermat. Od jeho čias (a pripomeniem, že vo Francúzsku vtedy žil statočný gaskonský šľachtic d'Artagnan a Andrzej Kmitsich bojoval s Bohuslavom Radziwillom v Poľsku) sa stovky, ba možno aj tisíce veľkých i malých matematikov neúspešne pokúšali rekonštruovať stratená úvaha geniálneho amatéra . Hoci dnes sme si istí, že Fermatov dôkaz nemôže byť správny, znepríjemňovala nám jednoduchá otázka, či rovnica xⁿ + oⁿ = dⁿ, n> 2 má riešenia v prirodzených číslach? môže to byť také ťažké.

Mnohí matematici, ktorí prišli do práce 23. júna 1993, našli vo svojom e-maile (ktorý bol vtedy čerstvým, ešte teplým vynálezom) lakonickú správu: "Klebety z Británie: Wiles dokazuje Fermat." Na druhý deň o tom písala denná tlač a posledná z Wilesovho cyklu prednášok zhromaždila tlač, televíziu a fotoreportérov – presne ako na konferencii slávneho futbalistu.

Každý, kto čítal „Satana zo siedmej triedy“ od Kornela Makuszyńského, si určite pamätá, čo robil pán Iwo Gąsowski, brat profesora histórie, ktorého systém vypočúvania žiakov objavil Adaś Cisowski. Iwo Gąsowski práve riešil Fermatovu rovnicu, strácal čas, majetok a zanedbával dom:

Nakoniec pán Iwo pochopil, že zákony o právomociach nezabezpečia šťastie rodiny a vzdal sa. Makuszyński nemal rád vedu, ale s pánom Gąsowským mal pravdu. Iwo Gąsowski urobil jednu zásadnú chybu. Nesnažil sa stať špecialistom v dobrom zmysle slova, ale pôsobil amatérsky. Andrew Wiles je profesionál.

Zaujímavý je príbeh boja proti Fermatovej poslednej vete. Celkom jednoducho je vidieť, že ich stačí vyriešiť pre exponenty, ktoré sú prvočíslami. Pre n = 3 bolo riešenie dané v roku 1770. Leonard Euler, pre n = 5 – Peter Gustáv Lejen Dirichlet (1828) a Adrienne Marie Legendre v roku 1830 a pri n = 7 – Gabriel Kulhavý v roku 1840. V XNUMX storočí venoval nemecký matematik väčšinu svojej energie Fermatovmu problému Ernst Eduard Kummer (1810-1893). Hoci nedosiahol konečný úspech, dokázal veľa špeciálnych prípadov a objavil mnoho dôležitých vlastností prvočísel. Veľká časť modernej algebry, teoretickej aritmetiky a algebraickej teórie čísel vďačí za svoj pôvod Kummerovej práci na Fermatovej vete.

Pri riešení Fermatovho problému metódami klasickej teórie čísel sa rozdelili na dva rôzne prípady zložitosti: prvý, keď predpokladáme, že súčin xyz je spojený s exponentom n, a druhý, keď číslo z je rovnako deliteľné exponent. V druhom prípade bolo známe, že neexistujú riešenia do n = 150 000 a v prvom prípade do n = 6 000 000 000 (Lehmer, 1981). To znamenalo, že možný protipríklad by bol v každom prípade nemožný: jeho získanie by si vyžadovalo miliardy číslic.

Tu je pre vás starý príbeh. Začiatkom roku 1988 bolo v matematickom svete známe, že Yoti Miyaoka dokázala nejakú nerovnosť, z čoho vyplynulo nasledovné: ak je dostatočne veľký iba exponent n, potom Fermatova rovnica určite nemá riešenia. V porovnaní s o niečo skorším výsledkom Nemca Gerd Faltings (1983) Miyaokov výsledok znamenal, že ak existujú riešenia, potom (z hľadiska proporcionality) ich existuje len konečný počet. Riešenie Fermatovho problému sa teda redukuje na vymenovanie konca mnohých prípadov. Bohužiaľ, koľko z nich nebolo známe: metódy používané Miyaokou neumožňovali odhadnúť, koľko je už „v poriadku“.

Tu stojí za zmienku, že dlhé roky sa štúdium Fermatovej vety neuskutočňovalo v rámci čistej teórie čísel, ale v rámci algebraickej geometrie, matematickej disciplíny odvodenej od algebry a rozšírenia karteziánskej analytickej geometrie, a teraz sa šíri takmer všade: od základov matematiky (teória topoi v logike), cez matematickú analýzu (kohomologické metódy, funkčné zväzky), klasickú geometriu až po teoretickú fyziku (vektorové zväzky, twistorové priestory, solitóny).

Keď sa vyznamenania nestarajú

Je ťažké nebyť smutný aj nad osudom matematika, ktorého prínos k riešeniu Fermatovej úlohy je veľmi významný. Hovorím o ArakieloviSuren Jurijevič Arakelov, ukrajinský matematik s arménskymi koreňmi), ktorý začiatkom 80. rokov, keď bol v štvrtom ročníku, vytvoril tzv. teória prieniku na aritmetických odrodách. Takéto povrchy sú plné dier a nedokonalostí a krivky na nich môžu náhle zmiznúť a potom sa znova objaviť. Teória priesečníkov vysvetľuje, ako vypočítať stupeň priesečníka takýchto kriviek. Bol to hlavný nástroj, ktorý použili Faltings a Miyaoka pri práci na Fermatovom probléme.

Raz bol Arakelov pozvaný, aby prezentoval svoje výsledky na veľkom matematickom kongrese. Avšak, pretože bol kritický voči sovietskemu systému, bolo mu zamietnuté povolenie odísť. Čoskoro bol povolaný do armády. Vyzývavo demonštroval, že je proti vojenskej službe vo všeobecnosti z pacifistických dôvodov. Ako som sa dozvedel z dosť pochybných zdrojov, údajne ho poslali do uzavretej psychiatrickej liečebne, kde strávil asi rok. Ako viete, zrejme na politické účely sovietski psychiatri vybrali špeciálny typ schizofrénie (v angličtine z, čo znamená „lenivý“, v ruštine malátna schizofrénia).

Ťažko povedať na sto percent, ako to bolo naozaj, pretože moje zdroje informácií nie sú príliš spoľahlivé. Po odchode z nemocnice zrejme Arakelov strávil niekoľko mesiacov v kláštore v Zagorsku. V súčasnosti žije v Moskve s manželkou a tromi deťmi. Nerobí mu matematiku. Andrew Wiles je plný vyznamenaní a peňazí.

Z pohľadu dobre živenej európskej spoločnosti je krok tiež nepochopiteľný Grigorij Perelman, ktorý v roku 2002 vyriešil najznámejší topologický problém XNUMX. storočia,“Poinariho domnienkaA potom odmietol všetky možné ocenenia. Najprv Fieldsova medaila spomínaná na začiatku, ktorú matematici považujú za ekvivalent Nobelovej ceny, a potom odmena jeden milión dolárov za vyriešenie jedného zo siedmich najdôležitejších matematických problémov, ktoré zostali z dvadsiateho storočia. „Iní boli lepší, o vyznamenania mi nejde, lebo matematika je môj koníček, mám jedlo a cigarety,“ povedal viac-menej užasnutému svetu.

Úspech po viac ako 300 rokoch

Veľká Fermatova veta bola určite najznámejším a najefektívnejším matematickým problémom. Bol otvorený vyše tristo rokov, bol formulovaný veľmi jasne a čitateľne a teoreticky ho mohol napadnúť ktokoľvek a v ére popularizácie počítačov bolo pomerne jednoduché pokúsiť sa prekonať ďalší rekord v hodnotení možné riešenia. V dejinách matematiky zohrala táto problematika svojou inšpiratívnou úlohou veľmi dôležitú „kultúrnotvornú“ úlohu, prispela k vzniku celých matematických disciplín. Je to zvláštne, pretože samotný problém je pomerne triviálny a samotná informácia o nedostatku koreňov vo Fermatovej rovnici príliš neprispievala do všeobecnej pokladnice matematických vedomostí.

V roku 1847 mal Gabriel Lamet (1795-1870) prednášku vo Francúzskej akadémii vied, kde oznámil riešenie Fermatovho problému. Okamžite sa však objavila jemná chyba v uvažovaní. Bol založený na neoprávnenom použití jedinečnej dekompozičnej vety. Zo školy si pamätáme, že každé číslo má jedinečné členenie na prvočísla, napríklad 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503. Číslo 503 nemá deliteľa (okrem 1 a 503 samotného), takže ho nemožno ďalej rozširovať.

Vlastnosť jedinečnosti rozdelenia majú kladné celé čísla, ale medzi inými číselnými množinami nie je nevyhnutné, aby nimi boli. Napríklad pre čísla znakov

máme 36 = 2²⋅2 XNUMX³ ,ale tiež

Analýzou Lameho dôkazu sa Kummerovi podarilo dokázať platnosť Fermatovej domnienky pre niektorých exponentov p. Nazval ich pravidelnými prvočíslami. Toto bol prvý dôležitý krok k úplnému dôkazu. Okolo Fermatovej vety vyrástol mýtus. "Alebo je to možno ešte horšie - možno ani nemôžete dokázať, že je to možné alebo nemožné vyriešiť?"

Ale od 80. rokov každý cítil, že cieľ je blízko. Pamätám si, že Berlínsky múr ešte stál a ja som už počúval prednášky o „čoskoro, o chvíľu“. No niekto musel byť prvý. Andrew Wiles zakončil svoju prednášku anglickým flegmom: „Myslím, že Fermat to dokazuje,“ a chvíľu trvalo, kým si preplnené publikum uvedomilo, čo sa stalo: na 330-ročnom matematickom probléme intenzívne pracovali stovky matematikov z tzv. samotný pluk a nespočetné množstvo amatérov, ako napríklad Ivo Gonsovsky z Makushinského románov. A Andrew Wiles mal tú česť potriasť si rukou s Haraldom V., nórskym kráľom. Asi nevenoval pozornosť skromnému príspevku na Ábelovu cenu, asi niekoľko stotisíc eur – načo potrebuje toľko peňazí?