Rovnice, kódy, šifry, matematika a poézia

Michal Shurek o sebe hovorí: „Narodil som sa v roku 1946. Varšavskú univerzitu som ukončil v roku 1968 a odvtedy pôsobím na Fakulte matematiky, informatiky a mechaniky. Vedecké zameranie: algebraická geometria. Nedávno som sa zaoberal vektorovými zväzkami. Čo je to vektorový lúč? Takže vektory musia byť pevne zviazané niťou a už máme kopu. Môj priateľ fyzik Anthony Sim ma prinútil pridať sa k Young Technician (priznáva, že by mal dostávať honoráre z mojich honorárov). Napísal som pár článkov a potom som zostal a od roku 1978 si môžete každý mesiac prečítať, čo si myslím o matematike. Milujem hory a napriek nadváhe sa snažím chodiť. Myslím si, že najdôležitejší sú učitelia. Politikov, nech už majú akékoľvek možnosti, by som držal v prísne stráženom priestore, aby nemohli ujsť. Kŕmiť raz denne. Jeden bígl z Tulek ma má rád.

Rovnica je pre matematika ako šifra. Riešenie rovníc, kvintesencia matematiky, je čítanie zašifrovaného textu. Toto si všimli teológovia už od XNUMX storočia. Ján Pavol II., znalý matematiky, to vo svojich kázňach viackrát napísal a spomenul – žiaľ, fakty sú vymazané z mojej pamäti.

V školskej vede je zastúpená Pytagoras ako autor vety o nejakej závislosti v pravouhlom trojuholníku. Tak sa to stalo súčasťou našej eurocentrickej filozofie. A predsa má Pytagoras oveľa viac cností. Bol to on, kto uložil svojim študentom povinnosť „učiť sa svet“ z toho, „čo je za týmto kopcom? pred štúdiom hviezd. Preto Európania „objavili“ staroveké civilizácie a nie naopak.

Niektorí čitatelia si pamätajúViète vzorya"; mnohí starší čitatelia si pamätajú samotný pojem zo školy a približne to, že sa otázka objavila v kvadratických rovniciach. Tieto zákonitosti sú „ideologicky“ šifrovanie informácie.

Niet divu, že jeden Francois Viet (1540-1603) sa zaoberal kryptografiou na dvore Henricha IV. (prvý francúzsky kráľ z dynastie Bourbonovcov, 1553-1610) a podarilo sa mu prelomiť šifru, ktorú používali Angličania vo vojne s Francúzskom. Zohral teda rovnakú úlohu ako poľskí matematici (na čele s Marianom Rejewskim), ktorí pred XNUMX. svetovou vojnou objavili tajomstvá nemeckého šifrovacieho stroja Enigma.

módna téma

presne tak. Téma „kódy a šifry“ sa vo výučbe stala dlho módou. Už som o tom viackrát písal a o dva mesiace bude ďalšia séria. Tentokrát píšem pod dojmom filmu o vojne z roku 1920, kde k víťazstvu do značnej miery prispelo prelomenie kódexu boľševických vojsk tímom vedeným vtedajšími mladými Václav Sierpinski (1882-1969). Nie, ešte to nie je Enigma, je to len úvod. Spomínam si na scénu z filmu, kde Józef Piłsudski (hrá ho Daniil Olbrychski) hovorí vedúcemu oddelenia šifrovania:

Dekódované správy niesli dôležité posolstvo: Tuchačevského jednotky nedostanú podporu. Môžete zaútočiť!

Poznal som Václava Sierpinského (ak to tak môžem povedať: bol som mladý študent, on bol slávny profesor), chodil som na jeho prednášky a semináre. Pôsobil dojmom vyschnutého učenca, duchaprítomného, ​​zaneprázdneného svojou disciplínou a nevidiaceho druhý svet. Prednášal špecificky, čelom k tabuli, nehľadiac na publikum... ale cítil sa ako vynikajúci špecialista. Tak či onak mal určité matematické schopnosti – napríklad na riešenie úloh. Sú aj iní – vedci, ktorí sú relatívne zlí v riešení hádaniek, ale ktorí hlboko rozumejú celej teórii a sú schopní iniciovať celé oblasti kreativity. Potrebujeme oboje – aj keď to prvé sa bude pohybovať rýchlejšie.

Václav Sierpinski o svojich úspechoch v roku 1920 nikdy nehovoril. Do roku 1939 to muselo byť definitívne utajené a po roku 1945 sa tí, čo bojovali so sovietskym Ruskom, netešili sympatiám vtedajších úradov. Moje presvedčenie, že vedci sú potrební ako armáda, je dokázané: „pre každý prípad“. Tu je prezident Roosevelt, ktorý volá Einsteina:

Vynikajúci ruský matematik Igor Arnold otvorene a smutne povedal, že vojna mala veľký vplyv na rozvoj matematiky a fyziky (vojenský pôvod mali aj radary a GPS). Nezachádzam do morálneho aspektu použitia atómovej bomby: tu je predĺženie vojny o rok a smrť niekoľkých miliónov vlastných vojakov – je tu utrpenie nevinných civilistov.

***

Utekám do známych oblastí - k.Mnohí z nás sa hrali s kódmi, možno skauting, možno len tak. Jednoduché šifry, založené na princípe nahrádzania písmen inými písmenami alebo inými číslami, sa bežne lámu, ak zachytíme len niekoľko indícií (napríklad uhádneme meno kráľa). Dnes pomáha aj štatistická analýza. Horšie, keď je všetko premenlivé. Najhoršie však je, keď tam nie je pravidelnosť. Zoberme si kód opísaný v Dobrodružstvách dobrého vojaka Švejka. Vezmite si knihu, napríklad Potopu. Tu sú návrhy na prvej a druhej strane.

Chceme zakódovať slovo „CAT“. Otvárame na strane 1 a nasledujúcej druhej. Zistíme, že na 1. strane sa písmeno K objavuje najskôr na 59. mieste. Päťdesiate deviate slovo nájdeme na opačnej, druhej strane. Je to slovo „a“. Teraz písmeno O. Naľavo je 16. slovo a šestnáste slovo napravo je "Mr." Písmeno T je na 95. mieste, ak som správne počítal, a deväťdesiate piate slovo sprava je „o“. Takže, Mačka = 1 PÁN O.

„Neuhádnuteľná“ šifra, aj keď bolestivo pomalá na šifrovanie aj ... na hádanie. Predpokladajme, že chceme odovzdať písmeno M. Môžeme skontrolovať, či ho zakódujeme slovom „Wołodyjowski“. A po nás už pripravujú väzenskú celu. Môžeme rátať len s náhradou! Okrem toho si kontrarozviedka všíma správy tajných zamestnancov, že zákazníci už nejaký čas ochotne kupujú prvý diel Potopy.

Môj článok je príspevkom k tejto téze: aj tie najbizarnejšie myšlienky matematikov môžu nájsť uplatnenie v široko chápanej praxi. Napríklad, je možné si predstaviť menej užitočný matematický objav ako kritérium deliteľnosti ... 47?

Kedy to v živote potrebujeme? A ak áno, bude jednoduchšie pokúsiť sa to oddeliť. Ak delí, tak je dobre, ak nie, tak ... sekundárne je dobre (vieme, že nedelí).

Ako zdieľať a prečo

Po tomto úvode prejdime k. Poznáte čitatelia nejaké známky deliteľnosti? určite. Párne čísla končia 2, 4, 6, 8 alebo nulou. Číslo je deliteľné tromi, ak súčet jeho číslic je deliteľný tromi. Podobne so znamienkom deliteľnosti deviatimi – súčet číslic musí byť deliteľný deviatimi.

kto to potrebuje? Klamal by som, keby som Čitateľa presviedčal, že je dobrý na niečo iné ako... školské úlohy. Nuž a ešte jedna vlastnosť deliteľnosti 4 (a čo to je, Čitateľ? Možno ju využijete, keď budete chcieť vedieť, na aký rok pripadá ďalšia olympiáda ...). Ale vlastnosť deliteľnosti 47? Toto je už bolesť hlavy. Budeme niekedy vedieť, či je niečo deliteľné 47? Ak áno, zober si kalkulačku a uvidíš.

Toto je. Máš pravdu, čitateľ. A predsa čítajte ďalej. Rado sa stalo.

Deliteľnosť 47: Číslo 100+ je deliteľné 47 práve vtedy, ak je 47 deliteľné +8.

Matematik sa spokojne usmeje: "Jéj, pekná." Ale matematika je matematika. Na dôkazoch záleží a my venujeme pozornosť ich kráse. Ako dokázať našu vlastnosť? Je to veľmi jednoduché. Odpočítajte od 100 + číslo 94 - 47 = 47 (2 -). Dostaneme 100+-94+47=6+48=6(+8).

Odčítali sme číslo, ktoré je deliteľné 47, takže ak je 6 (+ 8) deliteľné 47, potom je deliteľné aj 100 +. Ale číslo 6 je relatívne prvočíslo k 47, čo znamená, že 6 (+ 8) je deliteľné 47 práve vtedy, ak je + 8. Koniec dôkazu.

pozrime sa Niekoľko príkladov.

8805685 je deliteľné 47? Či nás to naozaj zaujíma, to zistíme skôr už len tým, že nás rozdelíme, ako nás to učili na základnej škole. Tak či onak, kalkulačku má teraz každý mobil. Rozdelený? Áno, súkromné ​​187355.

Nuž, pozrime sa, čo nám hovorí znak deliteľnosti. Odpojíme posledné dve číslice, vynásobíme ich 8, výsledok pridáme k „skrátenému číslu“ a to isté urobíme s výsledným číslom.

8805685 → 88056 + 8 = 85 → 88736 + 887 = 8 → 36 + 1175 = 11 → 8 + 75 = 611.

Vidíme, že 94 je deliteľné 47 (podiel je 2), čo znamená, že pôvodné číslo je tiež deliteľné. Dobre. Ale čo ak sa budeme baviť ďalej?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Teraz sa musíme zastaviť. Štyridsaťsedem je deliteľné 47, však?

Naozaj musíme prestať? Čo ak pôjdeme ďalej? Preboha, stať sa môže čokoľvek... Detaily vynechám. Možno len začiatok:

47 → 0 + 8 47 = 376 → 3 + 8 76 = 611 → 6 + 8 11 = 94 → 0 + 8 94 = 752.

Ale, bohužiaľ, je to návykové ako žuvanie semien ...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ach, štyridsaťsedem. Stalo sa to predtým. Čo bude ďalej? . To isté. Čísla idú v slučke takto:

Je to naozaj zaujímavé. Toľko slučiek.

dva nasledujúce príklady.

Chceme vedieť, či je 10017627 deliteľné 47. Prečo potrebujeme tieto znalosti? Pamätáme si zásadu: beda poznaniu, ktoré poznajúcemu nepomáha. Vedomosti sú vždy na niečo. Na niečo to bude, ale teraz to nebudem vysvetľovať. Niekoľko ďalších účtov:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

"Zmenil svojho strýka zo sekery na palicu." Čo z toho všetkého máme?

No zopakujme si priebeh konania. To znamená, že v tom budeme pokračovať (to znamená slovo „iterovať“).

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Zastavme hru, rozdeľme ako v škole (alebo na kalkulačke): 235 = 5 47. Bingo. Pôvodné číslo 10017627 je deliteľné 47.

Výborne!

Čo ak pôjdeme ďalej? Ver mi, môžeš si to overiť.

A ešte jeden zaujímavý fakt. Chceme skontrolovať, či je číslo 799 deliteľné číslom 47. Použijeme funkciu deliteľnosti. Odpojíme posledné dve číslice, vynásobíme výsledné číslo 8 a pridáme k tomu, čo zostalo:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

čo máme? Je 799 deliteľné 47 práve vtedy, ak je 799 deliteľné 47? Áno, je to tak, ale na toto netreba žiadnu matematiku!!! Olej je mastný (aspoň tento olej je mastný).

O liste, pirátoch a konci vtipov!

Ešte dva príbehy. Kde je najlepšie skryť list? Odpoveď je zrejmá: v lese! Ale ako to potom môžete nájsť?

Druhý poznáme z kníh o pirátoch, ktoré sme čítali už dávno. Piráti urobili mapu miesta, kde poklad zakopali. Iní ho buď ukradli, alebo boj vyhrali. Na mape však nebolo uvedené, pre ktorý ostrov bol určený. A hľadajte sami seba! Piráti sa s tým (mučenie) samozrejme vyrovnali - šifry, o ktorých hovorím, sa dajú extrahovať aj takýmito metódami.

Koniec vtipov. Čitateľ! Vytvárame šifru. Som tajný špión a ako kontaktnú schránku používam "Junior Technician". Posielajte mi zašifrované správy nasledovne.

Najprv preveďte text na reťazec čísel pomocou kódu: AB CDEFGH IJ KLMN OP RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Ako vidíte, nepoužívame poľskú diakritiku (t. j. bez a, e, c, n, o, s) a nepoľské q, v – ale pre každý prípad tam je nepoľské x. Zahrnieme ďalších 25 ako medzeru (medzeru medzi slovami). Oh, najdôležitejšia vec. Použite kód č. 47.

Vieš čo to znamená. Ideš ku kamarátovi matematikovi.

Priateľove oči sa rozšírili prekvapením.

Hrdo odpovedáš:

Touto vlastnosťou vás obdarí matematik... a vy už viete, že na šifrovanie slúži nenápadne vyzerajúca funkcia

pretože takýto vzor je opísaný úkon

100 + → + 8.

Ak teda chcete vedieť, čo znamená číslo, napríklad 77777777 v zašifrovanej správe, použite funkciu

100 + → + 8

kým nedostanete číslo medzi 1 a 25. Teraz sa pozrite na explicitný alfanumerický kód. Pozrime sa: 77777777 →... Nechám to na vás ako úlohu. Pozrime sa však, čo skrýva písmeno 48? Poďme čítať:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Potom sa dostaneme postupne:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432 ...

Koniec nie je v dohľade. Až po šesťdesiatom (!) čase sa objaví číslo menšie ako 25. To je 3, čiže 48 je písmeno C.

A čo nám táto správa dáva? (Chcem vám pripomenúť, že používame kód číslo 47):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​​​​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373 1234567 341 XNUMX – XNUMX – XNUMX XNUMX XNUMX

No zamyslite sa, čo je také zložité, nejaké účty. Začali sme. Začiatok 80. Známe pravidlo:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Pokračuje to takto:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Jedzte! Prvé písmeno správy je K. Fíha, jednoduché, ale ako dlho to bude trvať?

Pozrime sa tiež, aké problémy máme s číslom 1234567. Až na šestnásty raz dostaneme číslo menšie ako 25, konkrétne 12. Takže 1234567 je L.

Dobre, dalo by sa povedať, ale táto aritmetická operácia je taká jednoduchá, že jej naprogramovanie na počítači okamžite prelomí kód. Áno, je to pravda. Ide o jednoduché počítačové výpočty. nápad s verejná šifra a ide aj o sťaženie výpočtov pre počítač. Nech to funguje aspoň sto rokov. Dešifruje správu? Na tom nezáleží. Na tom dlho nebude záležať. O tom (viac-menej) sú verejné šifry. Môžu sa zlomiť, ak pracujete veľmi dlho ... až kým správy prestanú byť relevantné.

 odjakživa rodí „protizbrane“. Všetko to začalo mečom a štítom. Tajné služby platia obrovské sumy peňazí nadaným matematikom za vynájdenie metód šifrovania, ktoré počítače (vrátane tých, ktoré sme vytvorili) nebudú schopné prelomiť v XNUMX. storočí.

dvadsiate druhé storočie? Nie je také ťažké vedieť, že na svete je už veľa ľudí, ktorí budú žiť v tomto krásnom storočí!

ach jo? Čo ak požiadam (ja, tajného dôstojníka, ktorého kontaktoval „Mladý technik“), aby som zašifroval kódom číslo 23? Alebo 17? jednoduché:

Kiežby sme nikdy nemuseli používať matematiku na takéto účely.

***

Názov článku je o poézii. Čo s tým má ona spoločné?

Ako čo? Aj poézia šifruje svet.

Ako?

Svojimi metódami – podobnými algebraickým.