Článok o ničom

Už v detstve ma fascinovala rozprávka, asi mnohým čitateľom známa, o „polievke na klinci“. Moja babička (XNUMX. storočie narodenia) mi to povedala vo verzii „Prišiel kozák a požiadal o vodu, pretože má klinec a uvarí na ňom polievku“. Zvedavá gazdiná mu dala hrniec s vodou...a vieme, čo nasledovalo: „polievka má byť slaná, daitye, babka, soľ“, potom mäso umyl „na zlepšenie chuti“ atď. Nakoniec „uvarený“ klinec odhodil.

Tento článok mal byť teda o prázdnote vesmíru – a tu ide o pristátie európskeho aparátu na kométe 67P / Čurjumov-Gerasimenko 12. novembra 2014. No pri písaní som podľahol dlhoročnému zvyku, Stále som matematik. Ako je to s Páči sa mi toс nula matematika?

Ako nič neexistuje?

Nedá sa povedať, že Nič neexistuje. Existuje prinajmenšom ako filozofický, matematický, náboženský a úplne hovorový pojem. Nula je obyčajné číslo, nula stupňov na teplomere je tiež teplota a nulový zostatok v banke je nepríjemný, no bežný jav. Všimnite si, že v chronológii neexistuje nultý rok, a to preto, že nula bola zavedená do matematiky až v neskorom stredoveku, neskôr ako chronológia navrhnutá mníchom Dionýzom (XNUMX. storočie).

Napodiv, bez tejto nuly by sme sa naozaj zaobišli, a teda bez záporných čísel. V jednej z učebníc logiky som našiel cvičenie: nakreslite alebo povedzte, ako si predstavujete absenciu rýb. Úžasné, však? Každý vie nakresliť rybu, ale nie jednu?

Teraz stručne základný kurz matematiky. Udelenie privilégia existencie prázdnej množine označenej preškrtnutým krúžkom ∅ je nevyhnutný postup, ktorý je analogický s pridávaním nuly do množiny čísel. Prázdna množina je jediná množina, ktorá neobsahuje žiadne prvky. Takéto zbierky:

Neexistujú však dve rôzne prázdne množiny. Prázdna sada je súčasťou každej ďalšej sady:

V skutočnosti pravidlá matematickej logiky hovoria, že množina A je obsiahnutá v množine B vtedy a len vtedy, ak veta:

to obnáša

V prípade prázdnej množiny ∅ je výrok vždy nepravdivý, a teda podľa zákonov logiky je implikácia vo všeobecnosti pravdivá. Všetko pramení z klamstva („tu budem pestovať kaktus, ak sa presuniete do ďalšej triedy ...“). Takže, keďže prázdna množina je obsiahnutá v každej z ostatných, potom ak by boli dve rôzne, každá z nich by bola obsiahnutá v tej druhej. Ak sú však dve množiny obsiahnuté v sebe, sú rovnaké. Preto: je len jedna prázdna sada!

Postulát o existencii prázdnej množiny nie je v rozpore so žiadnymi matematickými zákonmi, tak prečo ho nepriviesť k životu? Filozofický princíp tzvOccamova žiletka» Príkaz na vylúčenie nepotrebných pojmov, ale tak akurát koncept prázdnej množiny je v matematike veľmi užitočný. Všimnite si, že prázdna množina má rozmer -1 (mínus jedna) - nulové prvky sú body a ich riedke sústavy, jednorozmerné prvky sú čiary a o veľmi zložitých matematických prvkoch s fraktálnou dimenziou sme hovorili v kapitole o fraktáloch. .

Je zaujímavé, že celé budovanie matematiky: čísla, čísla, funkcie, operátory, integrály, diferenciály, rovnice... možno odvodiť z jedného pojmu – prázdnej množiny! Stačí predpokladať, že existuje prázdna množina, novovytvorené prvky je možné kombinovať do množín, aby to bolo možné zostaviť všetku matematiku. Takto zostrojil prirodzené čísla nemecký logik Gottlob Frege. Nula je trieda množín, ktorých prvky sú vo vzájomnej korešpondencii s prvkami prázdnej množiny. Jednou je trieda množín, ktorých prvky sú vo vzájomnej zhode s prvkami množiny, ktorej jediným prvkom je prázdna množina. Two je trieda množín, ktorých prvky sú jedna k jednej, pričom prvky množiny pozostávajú z prázdnej množiny a množiny, ktorej jediným prvkom je prázdna množina... atď. Na prvý pohľad sa zdá, že ide o niečo veľmi zložité, no v skutočnosti to tak nie je.

Modrá sa nado mnou rozprestrela

voňal po vresu a voňal po mäte...

Wojciech Mlynarski, Harvest Girl

Je ťažké si to predstaviť

Nič nie je ťažké si predstaviť. V príbehu Stanisława Lema „Ako bol zachránený svet“ konštruktér Trurl zostrojil stroj, ktorý dokáže všetko, čo sa začína písmenom. Keď ho Klapaucius prikázal postaviť nič, stroj začal odstraňovať zo sveta rôzne predmety – s konečným cieľom odstrániť všetko. Kým vystrašený Klapaucius zastavil auto, zo sveta nenávratne zmizli galeje, tisy, obesené, hacky, riekanky, šibačky, pufy, mlynčeky, ražne, filidrony a mrazy. A skutočne, zmizli navždy ...

Józef Tischner vo svojich Dejinách horskej filozofie veľmi dobre písal o ničote. Počas mojej poslednej dovolenky som sa rozhodol zažiť túto ničotu, a síce som sa vybral do rašelinísk medzi Nowym Targom a Jabłonkou na Podhalí. Táto oblasť sa dokonca nazýva Pustachia. Ideš, ideš, ale cesta neubúda – samozrejme, v našom skromnom, poľskom meradle. Jedného dňa som išiel autobusom v kanadskej provincii Saskatchewan. Vonku bolo kukuričné ​​pole. Na pol hodinu som si zdriemla. Keď som sa zobudil, išli sme po tom istom kukuričnom poli... Ale počkaj, toto je prázdne? V istom zmysle je absencia zmeny len prázdnotou.

Sme zvyknutí na neustálu prítomnosť rôznych predmetov okolo nás a od Niečo nemôžete utiecť ani so zatvorenými očami. "Myslím, teda som," povedal Descartes. Ak som si už niečo myslel, tak existujem, čo znamená, že na svete je aspoň niečo (totiž ja). Existuje to, čo som si myslel? Dá sa o tom diskutovať, ale v modernej kvantovej mechanike je známy Heisenbergov princíp: každé pozorovanie narúša stav pozorovaného objektu. Kým to neuvidíme nič neexistuje a keď začneme hľadať, objekt prestane byť Páči sa mi to a stáva sa Niečo. Začína to byť absurdné antropický princíp: Nemá zmysel pýtať sa, aký by bol svet, keby sme neexistovali. Svet je taký, aký sa nám zdá. Možno ostatné bytosti uvidia Zem ako hranatú?

Pozitron (taký kladný elektrón) je diera vo vesmíre, „nie je tam žiadny elektrón“. V procese anihilácie elektrón skočí do tejto diery a „nič sa nestane“ – neexistuje žiadna diera, žiadny elektrón. Preskočím veľa vtipov o dierach vo švajčiarskom syre („čím viac mám, tým menej...“). Slávny skladateľ John Cage už svoje nápady využil do takej miery, že zložil (?) hudobnú skladbu (?), v ktorej orchester 4 minúty 33 sekúnd nehybne sedí a, samozrejme, nič nehrá. „Štyri minúty a tridsaťtri sekúnd sú dvestosedemdesiattri, 273 a mínus 273 stupňov je absolútna nula, pri ktorej sa zastaví všetok pohyb,“ vysvetlil skladateľ (?).

Filtrovať na nulu, nič, nick, nick, nič, nula!

Jerzy vo filme Andrzeja Wajdu Over the Years,

dni plynú"

A čo všetci?

Mnoho ľudí (od jednoduchých farmárov až po významných filozofov) uvažovalo o fenoméne existencie. V matematike je situácia jednoduchá: existuje niečo, čo je konzistentné.

Zmizla v okrajových poliach

V nevädze, burine a tlame levov ...

No aj takéto veci sa stávajú

Najmä v zbere a počas zberu

najmä…

Wojciech Mlynarski, Harvest Girl

Všetko je v druhom extréme Ničoho. V matematike to vieme Všetko neexistuje. Len príliš nepresná predstava, že jeho existencia by bola bez kontroverzií. Dá sa to pochopiť na príklade starého paradoxu: "Ak je Boh všemohúci, tak stvor kameň, ktorý môžeš zdvihnúť?" Matematický dôkaz, že nemôžu existovať množiny všetkých množín, je založený na vete spevák-Bershtein, ktorý hovorí, že „nekonečné číslo“ (matematicky: Základná číslovka) množina všetkých členov danej množiny je väčšia ako počet prvkov tejto množiny.

Ak má množina prvky, potom má 2ⁿ podmnožiny; napríklad, keď = 3 a množina pozostáva z {1, 2, 3}, potom existujú nasledujúce podmnožiny:

• tri dvojprvkové množiny: v každej z nich chýba jedno z čísel 1, 2, 3,
• jedna prázdna sada,
• tri jednoprvkové sady,
• celá sada {1,2,3}

– len osem, 2³A čitatelia, ktorí nedávno ukončili školu, by som rád pripomenul zodpovedajúci vzorec:

Každý z newtonovských symbolov v tomto vzorci určuje počet množín k prvkov v množine -prvkov.

V matematike sa binomické koeficienty objavujú na mnohých iných miestach, napríklad v zaujímavých vzorcoch pre znížené násobenie:

a z ich presnej podoby je oveľa zaujímavejšia ich vzájomná závislosť.

Je ťažké pochopiť, čo - čo sa týka logiky a matematiky - je a čo všetko nie je. Argumenty pre neexistenciu Presne tak, ako to mal Macko Pú, ktorý sa zdvorilo spýtal svojho hosťa Tigra, či vôbec majú tigre med, žalude a bodliaky? „Tigrom sa páči všetko,“ odpovedal ten, z ktorého Kubus usúdil, že ak sa im páči všetko, tak aj oni radi spia na zemi, preto sa on, Vinnie, môže vrátiť do postele.

Ďalší argument Russellov paradox. V meste je holič, ktorý oholí všetkých mužov, ktorí sa neholia sami. Holí sa sám? Obe odpovede sú v rozpore s predloženou podmienkou, že zabití budú iba tí, ktorí to sami neurobia.

Hľadáte kolekciu všetkých kolekcií

Na záver podám šikovný, no nanajvýš matematický dôkaz, že množina všetkých množín neexistuje (nepliesť si s ňou).

Najprv si ukážeme, že pre akúkoľvek neprázdnu množinu X nie je možné nájsť vzájomne unikátnu funkciu, ktorá by túto množinu mapovala na množinu jej podmnožín P(X). Predpokladajme teda, že táto funkcia existuje. Označme ho tradičným f. Čo je f z x? Toto je zbierka. Patrí xf do x? Toto je neznáme. Buď musíš, alebo nemusíš. Ale pre nejaké x musí byť stále také, že nepatrí do f z x. Potom uvažujme množinu všetkých x, pre ktoré x nepatrí do f(x). Označte ju (túto množinu) A. Zodpovedá niektorému prvku a z množiny X. Patrí a do A? Predpokladajme, že by ste mali. Ale A je množina obsahujúca len tie prvky x, ktoré nepatria do f(x)... No, možno nepatrí do A? Ale množina A obsahuje všetky prvky tejto vlastnosti, a teda aj A. Koniec dôkazu.

Ak by teda existovala množina všetkých množín, bola by sama sebe podmnožinou, čo je podľa predchádzajúcej úvahy nemožné.

Fíha, myslím, že tento dôkaz nevidelo veľa čitateľov. Skôr som to priniesol, aby som ukázal, čo museli matematici robiť na konci devätnásteho storočia, keď začali študovať základy vlastnej vedy. Ukázalo sa, že problémy sú tam, kde ich nikto nečakal. Navyše pre celú matematiku nezáleží na týchto úvahách o základoch: nech sa deje v pivniciach čokoľvek – celá budova matematiky stojí na pevnej skale.

Medzitým na vrchole...

Z príbehov Stanislava Lema si všimneme ešte jednu morálku. Na jednej zo svojich ciest sa Iyon Tichi dostal na planétu, ktorej obyvatelia po dlhom vývoji konečne dosiahli najvyšší stupeň vývoja. Všetci sú silní, dokážu čokoľvek, všetko majú na dosah ruky... a nerobia nič. Ľahli si na piesok a nasypali si ho medzi prsty. „Ak je všetko možné, nestojí to za to,“ vysvetľujú šokovanému Ijonovi. Nech sa to našej európskej civilizácii nestane...