päťkrát do oka
Koncom roka 2020 sa na univerzitách a školách uskutočnilo niekoľko podujatí, ktoré boli odložené z ... marca. Jednou z nich bola „oslava“ dňa pí. Pri tejto príležitosti som mal 8. decembra diaľkovú prednášku na Sliezskej univerzite a tento článok je zhrnutím prednášky. Celá párty začala o 9.42 a moja prednáška je naplánovaná na 10.28. Odkiaľ pochádza taká presnosť? Je to jednoduché: 3-násobok pi je približne 9,42 a π na 2. mocninu je približne 9,88 a hodina 9 na 88. mocninu je 10 na 28. ...
Zvyk ctiť si toto číslo, vyjadrujúci pomer obvodu kruhu k jeho priemeru a niekedy nazývaný aj Archimedova konštanta (ako aj v nemecky hovoriacich kultúrach), pochádza z USA (pozri tiež: ). 3.14 Marec “Americký štýl” o 22:22, preto ten nápad. Poľským ekvivalentom by mohol byť 7. júl, pretože zlomok 14/XNUMX sa dobre aproximuje π, čo... Archimedes už vedel. Marec XNUMX je najlepší čas na sprievodné udalosti.
Tieto tri a štrnásť stotín sú jedným z mála matematických posolstiev, ktoré nám zostali zo školy na celý život. Každý vie, čo to znamená"päťkrát do oka". Je to tak zakorenené v jazyku, že je ťažké to vyjadriť inak a s rovnakou gráciou. Keď som sa v autoservise spýtal, koľko by mohla stáť oprava, mechanik sa zamyslel a povedal: „päťkrát asi osemsto zlotých“. Rozhodol som sa využiť situáciu. "Myslíš hrubý odhad?". Mechanik si musel myslieť, že som zle počul, a tak zopakoval: "Neviem presne koľko, ale päťkrát by jedno oko bolo 800."
.
O čom to je? Pravopis pred druhou svetovou vojnou používal spolu „nie“ a nechal som to tam. Nezaoberáme sa tu zbytočne veľkolepou poéziou, aj keď sa mi páči myšlienka, že „zlatá loď pumpuje šťastie“. Opýtajte sa študentov: Čo znamená táto myšlienka? Ale hodnota tohto textu je niekde inde. Počet písmen v nasledujúcich slovách sú číslice rozšírenia pi. Pozrime sa:
Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 \ t
V roku 1596 holandský vedec nemeckého pôvodu Ludolph van Seulen vypočítal hodnotu pí na 35 desatinných miest. Potom boli tieto postavy vyryté na jeho hrob. Básničku venovala číslu pí a nášmu nositeľovi Nobelovej ceny, Vislava Šimborská. Szymborskú zaujala neperiodickosť tohto čísla a skutočnosť, že s pravdepodobnosťou 1 sa tam bude vyskytovať každá postupnosť číslic, napríklad naše telefónne číslo. Kým prvá vlastnosť je vlastná každému iracionálnemu číslu (ktoré by sme si mali zapamätať zo školy), druhá je zaujímavý matematický fakt, ktorý sa ťažko dokazuje. Môžete dokonca nájsť aplikácie, ktoré ponúkajú: daj mi svoje telefónne číslo a ja ti poviem, kde je v pi.
Kde je guľatosť, tam je spánok. Ak máme okrúhle jazero, prechádzka okolo neho je 1,57-krát dlhšia ako kúpanie. To samozrejme neznamená, že budeme plávať jeden a pol až dvakrát pomalšie, ako prejdeme. Zdieľal som svetový rekord na 100 m so svetovým rekordom na 100 m. Zaujímavé je, že u mužov a žien je výsledok takmer rovnaký a je 4,9. Plávame 5x pomalšie ako bežíme. Veslovanie je úplne iné – ale zaujímavá výzva. Má to dosť dlhý dej.
Pekný a ušľachtilý Dobrý, utekajúci pred prenasledujúcim zloduchom, priplával k jazeru. Zloduch beží pozdĺž brehu a čaká, kým ho prinúti pristáť. Samozrejme, že beží rýchlejšie ako Dobry vesluje a ak beží plynulo, Dobry je rýchlejší. Jedinou šancou Zla je teda dostať Dobro z brehu – presný výstrel z revolvera neprichádza do úvahy, pretože. Dobro má cenné informácie, ktoré chce Zlo vedieť.
Good dodržiava nasledujúcu stratégiu. Pláva cez jazero, postupne sa približuje k brehu, no vždy sa snaží byť na opačnej strane ako Zlý, ktorý náhodne beží doľava, potom doprava. Toto je znázornené na obrázku. Nech je počiatočná pozícia Zla Z1, a Dobre je stredom jazera. Keď sa Zly presťahuje do Z1, Dobro sa plaví do D.1keď je Bad v Z2, dobre na D2. Potečie cik-cak, ale v súlade s pravidlom: čo najďalej od Z. Ako sa však vzďaľuje od stredu jazera, Dobro sa musí pohybovať vo väčších a väčších kruhoch a v určitom bode nemôže. dodržiavať zásadu „byť na druhej strane Zla“. Potom zo všetkých síl vesloval na breh a dúfal, že Zlý neobíde jazero. Uspeje Good?
Odpoveď závisí od toho, ako rýchlo môže Dobrý veslovať vo vzťahu k hodnote Badových nôh. Predpokladajme, že Zlý muž beží rýchlosťou násobkom rýchlosti Dobrého muža na jazere. Preto najväčší kruh, na ktorom môže Dobro veslovať, aby odolalo Zlu, má polomer, ktorý je raz menší ako polomer jazera. Takže na výkrese, ktorý máme. V bode W náš Druh začína veslovať smerom k brehu. Toto musí ísť
s rýchlosťou
Potrebuje čas.
Wicked naháňa všetky svoje najlepšie nohy. Musí absolvovať polovicu kruhu, čo mu zaberie sekundy alebo minúty v závislosti od zvolených jednotiek. Ak je toto viac ako šťastný koniec:
Ten dobrý pôjde. Jednoduché účty ukazujú, čo by malo byť. Ak Zlý muž beží rýchlejšie ako 4,14-násobok Dobrého muža, neskončí to dobre. A aj tu zasahuje naše číslo pí.
Čo je okrúhle, to je krásne. Pozrieme si fotku troch ozdobných tanierov - mám ich po rodičoch. Aká je plocha krivočiareho trojuholníka medzi nimi? Toto je jednoduchá úloha; odpoveď je na tej istej fotke. Nečudujeme sa, že sa vo vzorci objavuje – veď kde je guľatosť, tam je pí.
Použil som možno neznáme slovo:. Toto je názov čísla pí v nemecky hovoriacej kultúre a to všetko vďaka Holanďanom (v skutočnosti Nemcovi, ktorý žil v Holandsku - na národnosti vtedy nezáležalo), Ludolf zo Soulenu. V roku 1596 vypočítal 35 číslic svojho rozšírenia na desatinné miesto. Tento rekord držal až do roku 1853, kedy William Rutherford čítal 440 miest. Držiteľom rekordov pre manuálne výpočty je (pravdepodobne navždy) William Shanksktorý po mnohých rokoch práce vydal (r. 1873) rozšírenie na 702 číslic. Až v roku 1946 sa zistilo, že posledných 180 číslic je nesprávnych, ale zostalo to tak. 527 vpravo. Bolo zaujímavé nájsť samotnú chybu. Čoskoro po zverejnení Shanksovho výsledku tušili, že „niečo nie je v poriadku“ – vo vývoji je podozrivo málo sedmičiek. Zatiaľ nepotvrdená (december 2020) hypotéza hovorí, že všetky čísla by sa mali objavovať s rovnakou frekvenciou. To podnietilo D. T. Fergusona, aby zrevidoval Shanksove výpočty a našiel chybu „učiteľa“!
Neskôr ľuďom pomohli kalkulačky a počítače. Aktuálnym (december 2020) rekordérom je Timothy Mullican (50 biliónov desatinných miest). Výpočty trvali ... 303 dní. Poďme sa hrať: koľko miesta by toto číslo zabralo, vytlačené v štandardnej knihe. Donedávna mala tlačená „strana“ textu 1800 znakov (30 riadkov krát 60 riadkov). Znížme počet znakov a okraje strán, napcháme 5000 50 znakov na stránku a vytlačíme XNUMX stranové knihy. XNUMX biliónov postáv by teda zabralo desať miliónov kníh. Nie je to zlé, však?
Otázkou je, aký zmysel má takýto boj? Z čisto ekonomického hľadiska, prečo by mal daňovník platiť takéto „zábavky“ matematikov? Odpoveď nie je ťažká. Najprv, zo Soulenu vynašiel polotovary pre výpočty, potom užitočné pre logaritmické výpočty. Keby mu povedali: prosím, stavajte prázdne miesta, odpovedal by: prečo? Podobne príkaz:. Ako viete, tento objav nebol úplne náhodný, no predsa len vedľajší produkt výskumu iného typu.
Po druhé, prečítajme si, čo píše Timothy Mullican. Tu je reprodukcia začiatku jeho tvorby. Profesor Mullican sa zaoberá kybernetickou bezpečnosťou a pi je taký malý koníček, na ktorom práve otestoval svoj nový systém kybernetickej bezpečnosti.
A že 3,14159 v strojárstve je viac než dosť, to je už druhá vec. Urobme si jednoduchý výpočet. Jupiter je od Slnka vzdialený 4,774 Tm (terameter = 1012 metrov). Na výpočet obvodu takého kruhu s takým polomerom s absurdnou presnosťou 1 milimeter by stačilo vziať π = 3,1415926535897932.
Nasledujúca fotografia zobrazuje štvrťkruh kociek Lego. Použil som 1774 podložiek a bolo to asi 3,08 pi. Nie je to najlepšie, ale čo očakávať? Kruh nemôže byť tvorený štvorcami.
presne tak. Je známe, že číslo pí je kruh štvorec - matematický problém, ktorý čakal na svoje riešenie viac ako 2000 rokov - od gréckych čias. Dokážete pomocou kompasu a pravítka zostrojiť štvorec, ktorého plocha sa rovná ploche daného kruhu?
Pojem „štvorec kruhu“ vstúpil do hovoreného jazyka ako symbol niečoho nemožného. Stláčam kláves, aby som sa opýtal, je to nejaký pokus zaplniť priekopu nepriateľstva, ktorá oddeľuje občanov našej krásnej krajiny? Ale už sa tejto téme vyhýbam, lebo cítim asi len v matematike.
A opäť to isté - riešenie problému kvadratúry kruhu sa neobjavilo tak, že autor riešenia, Charles Lindemann, v roku 1882 bol zriadený a nakoniec sa mu to podarilo. Do istej miery áno, ale bol to dôsledok útoku zo širokého frontu. Matematici zistili, že existujú rôzne druhy čísel. Nielen celé čísla, racionálne (teda zlomky) a iracionálne. Nemerateľnosť môže byť aj lepšia alebo horšia. Zo školy si možno pamätáme, že iracionálne číslo je √2 - číslo vyjadrujúce pomer dĺžky uhlopriečky štvorca k dĺžke jeho strany. Ako každé iracionálne číslo má neurčitú príponu. Pripomínam, že periodické rozširovanie je vlastnosťou racionálnych čísel, t.j. súkromné celé čísla:
Tu sa donekonečna opakuje postupnosť čísel 142857. Pre √2 sa to nestane - to je súčasť iracionality. Ale ty možeš:
(zlomok pokračuje navždy). Vidíme tu vzor, ale iného typu. Pi nie je ani také bežné. Nedá sa získať riešením algebraickej rovnice – teda takej, v ktorej nie je ani odmocnina, ani logaritmus, ani goniometrické funkcie. To už ukazuje, že to nie je zostrojiteľné - kreslenie kružníc vedie ku kvadratickým funkciám a čiary - priamky - k rovniciam prvého stupňa.
Možno som odbočil od hlavnej zápletky. Až rozvoj celej matematiky umožnil vrátiť sa k počiatkom – k starodávnej krásnej matematike mysliteľov, ktorí pre nás vytvorili európsku kultúru myslenia, o ktorej dnes niektorí pochybujú.
Z množstva reprezentatívnych vzorov som vybral dva. Prvý z nich spájame s priezviskom Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Ale poznal ho (model, nie Leibniz) stredoveký hinduistický učenec Madhava zo Sangamagramu (1350-1425). Prenos informácií v tom čase nebol veľký - internetové pripojenie bolo často chybné a chýbali batérie do mobilných telefónov (pretože elektronika ešte nebola vynájdená!). Vzorec je krásny, ale na výpočty nepoužiteľný. Zo stovky ingrediencií sa získa „len“ 3,15159.
je mu trochu lepšie Vièteov vzorec (ten z kvadratických rovníc) a jeho vzorec sa dá ľahko naprogramovať, pretože ďalší člen v súčine je druhá odmocnina predchádzajúceho plus dva.
Vieme, že kruh je okrúhly. Dá sa povedať, že ide o stopercentné kolo. Matematik sa opýta: môže byť niečo iné ako 100 percento zaokrúhlené? Zrejme ide o oxymoron, frázu obsahujúcu skrytý rozpor, akým je napríklad horúci ľad. Skúsme si však zmerať, aké oblé môžu byť tvary. Ukazuje sa, že dobrá miera je daná nasledujúcim vzorcom, v ktorom S je plocha a L je obvod obrázku. Poďme zistiť, že kruh je skutočne okrúhly, že sigma je 1. Oblasť kruhu je obvod. Vložíme ... a uvidíme, čo je správne. Aký okrúhly je štvorec? Výpočty sú rovnako jednoduché, ani ich nedám. Vezmite pravidelný šesťuholník vpísaný do kruhu s polomerom. Obvod je zjavne 6.
Poliak
Čo tak obyčajný šesťuholník? Jeho obvod je 6 a jeho plocha
Takže máme
čo sa približne rovná 0,952. Šesťuholník je z viac ako 95 % „okrúhly“.
Zaujímavý výsledok sa získa pri výpočte kruhovitosti športového štadióna. Podľa pravidiel IAAF musia byť rovinky a zákruty dlhé 40 metrov, hoci odchýlky sú povolené. Pamätám si, že štadión Bislet v Osle bol úzky a dlhý. Píšem „bol“, pretože som na ňom dokonca bežal (pre amatéra!), ale pred viac ako XNUMX rokmi. Poďme sa pozrieť:
Ak má oblúk polomer 100 metrov, polomer tohto oblúka je metrov. Plocha trávnika je metrov štvorcových a plocha mimo neho (kde sú odrazové mostíky) je v metroch štvorcových. Zapojme to do vzorca:
Má teda okrúhlosť športového štadióna niečo spoločné s rovnostranným trojuholníkom? Pretože výška rovnostranného trojuholníka je rovnaká, koľkokrát je výška strany. Je to náhodná zhoda čísel, ale je to pekné. Páči sa mi to. A čitatelia?
Dobre, že je okrúhly, aj keď niektorí by mohli namietať, pretože vírus, ktorý nás všetkých postihuje, je okrúhly. Aspoň tak to kreslia.
