obrátené kúzlo

O „čare protikladov“ sa veľa hovorí, a to nielen v matematike. Pamätajte, že opačné čísla sú tie, ktoré sa líšia iba znamienkom: plus 7 a mínus 7. Súčet opačných čísel je nula. Ale pre nás (t.j. matematikov) sú zaujímavejšie recipročné. Ak sa súčin čísel rovná 1, potom sú tieto čísla navzájom inverzné. Každé číslo má svoj opak, každé nenulové číslo má inverznú. Recipročným recipročným je semeno.

Inverzia nastáva vždy, keď sú dve veličiny vo vzájomnom vzťahu, takže ak sa jedna zvyšuje, druhá klesá zodpovedajúcou rýchlosťou. „Relevantné“ znamená, že súčin týchto množstiev sa nemení. Zo školy si pamätáme: toto je nepriamy pomer. Ak sa chcem dostať do cieľa dvakrát rýchlejšie (t. j. skrátiť čas na polovicu), potrebujem zdvojnásobiť rýchlosť. Ak sa objem utesnenej nádoby s plynom zmenší n-krát, potom sa jej tlak zvýši n-krát.

V elementárnom vzdelávaní starostlivo rozlišujeme medzi diferenciálnym a relatívnym porovnaním. "Koľko ešte"? -"Koľkokrát ešte?"

Tu sú niektoré školské aktivity:

Úloha 1. Z dvoch kladných hodnôt je prvá 5-krát väčšia ako druhá a zároveň 5-krát väčšia ako prvá. Aké sú rozmery?

Úloha 2. Ak je jedno číslo o 3 väčšie ako druhé a druhé o 2 väčšie ako tretie, o koľko väčšie je prvé číslo ako tretie? Ak je prvé kladné číslo dvakrát druhé a prvé číslo je trikrát tretie, koľkokrát je prvé číslo väčšie ako tretie?

Úloha 3. V úlohe 2 sú povolené len prirodzené čísla. Je možné takéto usporiadanie, ako je tam opísané?

Úloha 4. Z dvoch kladných hodnôt je prvá 5-krát druhá a druhá je 5-krát prvá. Je to možné?

Pojem „priemerný“ alebo „priemerný“ sa zdá byť veľmi jednoduchý. Ak som v pondelok prešiel na bicykli 55 km, v utorok 45 km a v stredu 80 km, v priemere som najazdil 60 km za deň. Z celého srdca súhlasíme s týmito výpočtami, aj keď sú trochu zvláštne, pretože som za jeden deň nenajazdil 60 km. Rovnako jednoducho akceptujeme akcie na osobu: ak dvesto ľudí navštívi reštauráciu do šiestich dní, potom je priemerná denná sadzba 33 a tretina ľudí. HM!

Problémy sú len s priemernou veľkosťou. Ja rád bicyklujem. Využil som teda ponuku cestovnej kancelárie „Poďme s nami“ – dovezú batožinu do hotela, kde klient rekreačne jazdí na bicykli. V piatok som jazdil štyri hodiny: prvé dve rýchlosťou 24 km za hodinu. Potom som sa tak unavil, že ďalšie dve rýchlosťou len 16 za hodinu. Aká bola moja priemerná rýchlosť? Samozrejme (24+16)/2=20km=20km/h.

V sobotu však batožinu nechali v hoteli a ja som si išiel pozrieť zrúcaninu hradu, ktorá je vzdialená 24 km a keď som si ich prezrel, vrátil som sa. Hodinu som jazdil jedným smerom, späť som sa vracal pomalšie, rýchlosťou 16 km za hodinu. Aká bola moja priemerná rýchlosť na trase hotel – hrad – hotel? 20 km za hodinu? Samozrejme, že nie. Veď som najazdil dokopy 48 km a späť mi to trvalo hodinu („tam“) a hodinu a pol. 48 km za dve a pol hodiny, t.j. hodina 48/2,5=192/10=19,2 km! V tejto situácii nie je priemerná rýchlosť aritmetickým priemerom, ale harmonickou daných hodnôt:

a tento dvojposchodový vzorec možno čítať takto: harmonický priemer kladných čísel je prevrátená hodnota aritmetického priemeru ich prevrátenej hodnoty. Prevrátená hodnota súčtu recipročných hodnôt sa objavuje v mnohých zboroch školských úloh: ak jeden pracovník vykopáva hodiny, druhý - b hodín, potom pri spoločnej práci kopajú načas. vodný bazén (jeden za hodinu, druhý po b hodinách). Ak má jeden rezistor R1 a druhý R2, potom majú paralelný odpor. 

Ak jeden počítač dokáže vyriešiť problém za pár sekúnd, iný počítač za b sekúnd, potom keď budú spolupracovať...

Stop! Tu sa analógia končí, pretože všetko závisí od rýchlosti siete: efektívnosti pripojení. Pracovníci si tiež môžu navzájom prekážať alebo si pomáhať. Ak jeden človek dokáže vykopať studňu za osem hodín, dokáže to osemdesiat robotníkov urobiť za 1/10 hodiny (alebo 6 minút)? Ak šiesti nosiči vynesú klavír na prvé poschodie za 6 minút, ako dlho bude jednému z nich trvať doručenie klavíra na šesťdesiate poschodie? Absurdnosť takýchto problémov dáva do povedomia obmedzenú použiteľnosť celej matematiky na problémy „zo života“.

O silnom predajcovi 

Váhy sa už nepoužívajú. Pripomeňme, že na jednu misku takýchto váh sa položilo závažie a na druhú sa položil tovar, ktorý sa vážil, a keď bola váha v rovnováhe, vážil tovar toľko, koľko bolo závažia. Samozrejme, obe ramená záťaže musia byť rovnako dlhé, inak bude váženie nesprávne.

Oh, správne. Predstavte si predajcu, ktorý má váhu s nerovnakým pákovým efektom. K zákazníkom však chce byť úprimný a tovar váži v dvoch dávkach. Najprv na jednu panvicu položí závažie a na druhú zodpovedajúce množstvo tovaru - aby boli váhy v rovnováhe. Potom odváži druhú „polovicu“ tovaru v opačnom poradí, to znamená, že závažie položí na druhú misku a tovar na prvú. Keďže ruky nie sú rovnaké, "polovičky" nie sú nikdy rovnaké. A svedomie predávajúceho je čisté a kupujúci chvália jeho poctivosť: "Čo som tu odstránil, to som potom pridal."

Pozrime sa však bližšie na správanie predajcu, ktorý chce byť napriek neistej váhe úprimný. Nech majú ramená váhy dĺžku a a b. Ak je jedna z misiek zaťažená kilogramovým závažím a druhá x tovarom, potom sú váhy v rovnováhe, ak ax = b prvýkrát a bx = a druhýkrát. Takže prvá časť tovaru sa rovná b / kilogram, druhá časť je a / b. Dobrá hmotnosť má a = b, teda kupujúci dostane 2 kg tovaru. Pozrime sa, čo sa stane, keď a ≠ b. Potom a – b ≠ 0 a z redukovaného vzorca na násobenie máme

Dospeli sme k nečakanému výsledku: zdanlivo férový spôsob „spriemerovania“ merania v tomto prípade funguje v prospech kupujúceho, ktorý dostáva viac tovaru.

Úloha 5. (Dôležité, v žiadnom prípade nie v matematike!). Komár váži 2,5 miligramu a slon päť ton (to je celkom správny údaj). Vypočítajte aritmetický priemer, geometrický priemer a harmonický priemer hmotnosti (hmotnosti) komárov a slonov. Skontrolujte výpočty a zistite, či majú zmysel okrem aritmetických cvičení. Pozrime sa na ďalšie príklady matematických výpočtov, ktoré v „reálnom živote“ nedávajú zmysel. Tip: Na jeden príklad sme sa už pozreli v tomto článku. Znamená to, že anonymný študent, ktorého názor som našiel na internete, mal pravdu: „Matematika oklamáva ľudí číslami“?

Áno, súhlasím s tým, že v majestátnosti matematiky môžete ľudí „oklamať“ - každá druhá reklama na šampón hovorí, že o nejaké percento zvyšuje nadýchanosť. Máme hľadať ďalšie príklady užitočných každodenných nástrojov, ktoré sa dajú použiť na trestnú činnosť?

babky!

Názov tejto pasáže je sloveso (prvá osoba množného čísla), nie podstatné meno (nominatív množného čísla tisíciny kilogramu). Harmónia znamená poriadok a hudbu. Pre starých Grékov bola hudba vedným odvetvím – treba priznať, že ak to povieme, prenášame súčasný význam slova „veda“ do doby pred naším letopočtom. Pytagoras žil v XNUMX storočí pred naším letopočtom. Nielenže nepoznal počítač, mobilný telefón a e-mail, ale ani nevedel, kto sú Robert Lewandowski, Mieszko I., Karol Veľký a Cicero. Nepoznal ani arabské, ani rímske číslice (tie sa začali používať okolo XNUMX. storočia pred Kristom), nevedel, čo sú to púnske vojny... Ale poznal hudbu...

Vedel, že na strunových nástrojoch sú koeficienty vibrácií nepriamo úmerné dĺžke vibrujúcich častí strún. Vedel, vedel, len to nedokázal vyjadriť tak, ako to robíme dnes.

Frekvencie dvoch vibrácií strún, ktoré tvoria oktávu, sú v pomere 1:2, to znamená, že frekvencia vyššej noty je dvojnásobkom frekvencie nižšej. Správny pomer vibrácií pre kvintu je 2:3, kvarta je 3:4, čistá veľká tercia je 4:5, malá tercia je 5:6. Sú to príjemné spoluhláskové intervaly. Potom sú dva neutrálne, s vibračnými pomermi 6:7 a 7:8, potom disonantné - veľký tón (8:9), malý tón (9:10). Tieto zlomky (pomery) sú ako pomery po sebe nasledujúcich členov postupnosti, ktorú matematici (práve z tohto dôvodu) nazývajú harmonické série:

je teoreticky nekonečný súčet. Pomer kmitov oktávy môžeme napísať ako 2:4 a medzi ne dať kvintu: 2:3:4, čiže oktávu rozdelíme na kvintu a kvartu. Toto sa v matematike nazýva harmonické delenie segmentov:

Ryža. 1. Pre hudobníka: rozdelenie oktávy AB na kvintu AC.Pre matematika: Harmonická segmentácia

Čo mám na mysli, keď hovorím (vyššie) o teoreticky nekonečnom súčte, ako je harmonický rad? Ukazuje sa, že takáto suma môže byť akékoľvek veľké číslo, hlavná vec je, že pridávame na dlhú dobu. Suroviny je čoraz menej, no je ich stále viac. čo prevláda? Tu vstupujeme do oblasti matematickej analýzy. Ukazuje sa, že zložky sú vyčerpané, ale nie veľmi rýchlo. Ukážem, že ak vezmem dostatok ingrediencií, môžem zhrnúť:

ľubovoľne veľký. Zoberme si "napríklad" n = 1024. Zoskupme slová tak, ako je znázornené na obrázku:

V každej zátvorke je každé slovo väčšie ako predchádzajúce, samozrejme okrem posledného, ​​ktoré sa rovná samému sebe. V nasledujúcich zátvorkách máme 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 a 512 komponentov; hodnota súčtu v každej zátvorke je väčšia ako ½. To všetko je viac ako 5½. Presnejšie výpočty by ukázali, že táto suma je približne 7,50918. Nie veľa, ale vždy, a môžete vidieť, že ak vezmem n akékoľvek veľké, dokážem prekonať akékoľvek číslo. Táto je neuveriteľne pomalá (napríklad sme top desiatku len s prísadami), ale nekonečný rast vždy fascinoval matematikov.

Cesta do nekonečna s harmonickou sériou

Tu je hádanka k dosť vážnej matematike. Máme neobmedzenú zásobu pravouhlých blokov (čo môžem povedať, pravouhlých!) s rozmermi povedzme 4 × 2 × 1. Uvažujme systém pozostávajúci z niekoľkých (na obr. 2 - štyri) bloky usporiadané tak, že prvý je naklonený o ½ svojej dĺžky, druhý zhora o ¼ atď., tretí o jednu šestinu. No, možno aby to bolo naozaj stabilné, nakloníme prvú tehlu o niečo menej. Na výpočtoch nezáleží.

Ryža. 2. Určenie ťažiska

Je tiež ľahké pochopiť, že keďže obrazec zložený z prvých dvoch blokov (počítajúc zhora) má stred symetrie v bode B, potom B je ťažisko. Definujme geometricky ťažisko systému zloženého z troch horných blokov. Tu stačí veľmi jednoduchý argument. V duchu si rozdeľme trojblokovú kompozíciu na dve horné a tretiu spodnú. Tento stred musí ležať na časti spájajúcej ťažiská oboch častí. V ktorom bode tejto epizódy?

Existujú dva spôsoby označenia. V prvom použijeme pozorovanie, že tento stred musí ležať v strede trojblokovej pyramídy, teda na priamke pretínajúcej druhý, stredný blok. Druhým spôsobom chápeme, že keďže dva horné bloky majú dvojnásobnú celkovú hmotnosť ako jeden blok #3 (hore), ťažisko tejto časti musí byť dvakrát bližšie k B ako k stredu. S tretieho bloku. Podobne nájdeme ďalší bod: nájdený stred troch blokov spojíme so stredom S štvrtého bloku. Stred celého systému je vo výške 2 a v bode, ktorý delí segment o 1 až 3 (teda o ¾ jeho dĺžky).

Výpočty, ktoré vykonáme trochu ďalej, vedú k výsledku znázornenému na obr. obr. Po sebe idúce ťažiská sa odstránia z pravého okraja spodného bloku:

Priemet ťažiska pyramídy je teda vždy v rámci základne. Veža sa neprevrhne. Teraz sa pozrime na obr. 3 a na chvíľu použijeme ako základ piaty blok zhora (ten označený svetlejšou farbou). Horný sklon:

teda jeho ľavý okraj je o 1 ďalej ako pravý okraj základne. Tu je ďalšia hojdačka:

Aký je najväčší švih? Už vieme! Neexistuje žiadny najväčší! Ak vezmete aj tie najmenšie bloky, môžete získať presah jedného kilometra - bohužiaľ, iba matematicky: celá Zem by nestačila na postavenie toľkých blokov!

Ryža. 3. Pridajte ďalšie bloky

Teraz výpočty, ktoré sme nechali vyššie. Všetky vzdialenosti vypočítame "vodorovne" na osi x, pretože to je všetko. Bod A (ťažisko prvého bloku) je 1/2 od pravého okraja. Bod B (stred systému dvoch blokov) je vzdialený 1/4 od pravého okraja druhého bloku. Začiatočným bodom nech je koniec druhého bloku (teraz prejdeme k tretiemu). Napríklad, kde je ťažisko jedného bloku #3? Polovičná dĺžka tohto bloku je teda 1/2 + 1/4 = 3/4 od nášho referenčného bodu. Kde je bod C? V dvoch tretinách segmentu medzi 3/4 a 1/4, teda v predchádzajúcom bode, zmeníme referenčný bod na pravý okraj tretieho bloku. Ťažisko trojblokového systému je teraz odstránené z nového referenčného bodu atď. Ťažisko C_n veža zložená z n blokov je vzdialená 1/2n od okamžitého referenčného bodu, ktorým je pravý okraj základného bloku, teda n-tý blok zhora.

Keďže séria recipročných hodnôt sa rozchádza, môžeme získať akúkoľvek veľkú variáciu. Dalo by sa to reálne zrealizovať? Je to ako nekonečná tehlová veža – skôr či neskôr sa zrúti vlastnou váhou. V našej schéme minimálne nepresnosti v umiestnení blokov (a pomalý nárast čiastkových súčtov série) znamenajú, že sa ďaleko nedostaneme.