Lem, Tokarčuk, Krakov, matematika

V dňoch 3. – 7. septembra 2019 sa v Krakove konal výročný kongres Poľskej matematickej spoločnosti. Výročie, lebo storočnica od založenia Spolku. V Haliči existovala od 1. rokov (bez prívlastku, že poľsko-liberalizmus cisára FJ1919 mal svoje hranice), no ako celoštátna organizácia pôsobila až od roku 1919. Veľký pokrok v poľskej matematike sa datuje do 1939. rokov XNUMX-XNUMX. XNUMX na Univerzite Jana Kazimíra vo Ľvove, ale zjazd by sa tam nemohol uskutočniť – a ani to nie je najlepší nápad.

Stretnutie bolo veľmi slávnostné, plné sprievodných podujatí (vrátane vystúpenia Jaceka Wojcickiho na zámku v Niepolomiciach). Hlavné prednášky prednieslo 28 rečníkov. Boli v poľštine, pretože pozvaní hostia boli Poliaci – nie nevyhnutne v zmysle občianstva, ale uznávali sa ako Poliaci. Ach áno, z poľských vedeckých inštitúcií prišlo len trinásť lektorov, zvyšných pätnásť prišlo z USA (7), Francúzska (4), Anglicka (2), Nemecka (1) a Kanady (1). Nuž, to je vo futbalových ligách známy fenomén.

Tí najlepší neustále vystupujú v zahraničí. Je to trochu smutné, ale sloboda je sloboda. Niekoľko poľských matematikov urobilo v zámorí kariéry, ktoré sú v Poľsku nedosiahnuteľné. Peniaze tu hrajú druhoradú rolu, ale o takýchto témach nechcem písať. Možno len dva komentáre.

V Rusku a predtým v Sovietskom zväze to bolo a je na tej najuvedomelejšej úrovni...a tam sa akosi nikomu nechce emigrovať. V Nemecku sa zase o profesúru na ktorejkoľvek univerzite uchádza asi tucet kandidátov (kolegovia z Univerzity v Kostnici uviedli, že za rok majú 120 žiadostí, z toho 50 veľmi dobrých a 20 výborných).

Len málo prednášok z Jubilejného kongresu možno zhrnúť do nášho mesačníka. Nadpisy ako „Limity riedkych grafov a ich aplikácie“ alebo „Lineárna štruktúra a geometria podpriestorov a faktorových priestorov pre vysokorozmerné normalizované priestory“ bežnému čitateľovi nič nepovedia. Druhú tému predstavil môj kamarát z prvých kurzov, Nicole Tomchak.

Pred niekoľkými rokmi bola nominovaná za úspech prezentovaný na tejto prednáške. Fieldsova medaila je ekvivalentom pre matematikov. Toto ocenenie zatiaľ získala len jedna žena. Za zmienku stojí aj prednáška Anna Marcinyak-Chohra (Heidelberg University) "Úloha mechanistických matematických modelov v medicíne na príklade modelovania leukémie".

vstúpil do medicíny. Na Varšavskej univerzite skupina pod vedením Prof. Jerzy Tyurin.

Názov prednášky bude pre čitateľov nezrozumiteľný Veslava Niziol (z prestiżowej Vyššia pedagogická škola) “-adická teória Hodžu". Napriek tomu som sa rozhodol diskutovať o tejto prednáške.

Geometria -adické svety

Začína to jednoduchými maličkosťami. Pamätáte si, čitateľ, spôsob písomnej výmeny? určite. Spomeňte si na bezstarostné roky základnej školy. Vydeľte 125051 23 (toto je akcia vľavo). Viete, že to môže byť aj inak (akcia vpravo)?

Táto nová metóda je zaujímavá. Idem od konca. Musíme deliť 125051 číslom 23. Čím musíme vynásobiť číslo 23, aby posledná číslica bola 1? Hľadaj v pamäti a maj :=7. Posledná číslica výsledku je 7. Vynásobte, odčítajte, dostaneme 489. Ako vynásobíte 23, aby ste dostali 9? Samozrejme o 3. Dostávame sa do bodu, kedy určíme všetky čísla výsledku. Zdá sa nám to nepraktické a náročnejšie ako naša bežná metóda – ale je to vec cviku!

Veci naberú iný spád, keď statočného muža deliteľ celkom nerozdelí. Urobme rozdelenie a uvidíme, čo sa stane.

Vľavo je typická školská trať. Vpravo sú „naši divní“.

Oba výsledky môžeme skontrolovať vynásobením. Rozumieme prvému: jedna tretina čísla 4675 je tisícpäťstopäťdesiatosem a tri v období. To druhé nedáva zmysel: čomu predchádza toto číslo nekonečný počet šestiek a potom 8225?

Nechajme na chvíľu otázku zmyslu. Poďme hrať. Rozdeľme teda 1 3 a potom 1 7, čo je jedna tretina a jedna sedmina. Môžeme ľahko získať:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Tento posledný riadok znamená: blok 285714 sa na začiatku opakuje donekonečna a nakoniec sú tri. Pre tých, ktorí neveria, je tu test:

Teraz pridajme zlomky:

Potom sčítame prijaté podivné čísla a dostaneme (skontrolujeme) rovnaké podivné číslo.

......95238095238095238095238010

Môžeme skontrolovať, či sa to rovná

Podstata sa ešte uvidí, ale aritmetika je správna.

Ešte jeden príklad.

Zvyčajné, aj keď veľké číslo 40081787109376 má zaujímavú vlastnosť: aj jeho štvorec končí 40081787109376. číslo x40081787109376, čo je ( x40081787109376)² tiež končí x40081787109376.

Tip. Máme 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, takže ďalšia číslica je doplnok tri až desať, čo je 7. Skontrolujeme: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Otázka, prečo je to tak, je ťažká. Je to jednoduchšie: nájdite podobné koncovky pre čísla končiace na 5. Pokračujúc v procese hľadania ďalších číslic donekonečna, prídeme k takým „číslam“, ktoré ²=²= (a žiadne z týchto čísel sa nerovná nule alebo jednotke).

dobre si rozumieme. Čím ďalej za desatinnou čiarkou, tým je číslo menej dôležité. V inžinierskych výpočtoch je dôležitá prvá číslica za desatinnou čiarkou, ako aj druhá, no v mnohých prípadoch možno predpokladať, že pomer obvodu kruhu k jeho priemeru je 3,14. Samozrejme, do leteckého priemyslu treba zaradiť viac čísel, ale nemyslím si, že ich bude viac ako desať.

Meno sa objavilo v názve článku Stanislav Lem (1921-2006), ako aj náš nový laureát Nobelovej ceny. pani Oľga Tokarčuk Spomenul som to len preto kričiaca nespravodlivosťFaktom je, že Stanislav Lem nedostal Nobelovu cenu za literatúru. Ale nie je to v našom rohu.

Lem často predvídal budúcnosť. Zaujímalo ho, čo sa stane, keď sa stanú nezávislými od ľudí. Koľko filmov na túto tému sa v poslednej dobe objavilo! Lem celkom presne predpovedal a opísal optického čítača a farmakológiu budúcnosti.

Vedel matematiku, aj keď ju niekedy považoval za ozdobu, pričom sa nestaral o správnosť výpočtov. Napríklad v príbehu „Trial“ sa pilot Pirks dostane na obežnú dráhu B68 s dobou rotácie 4 hodiny 29 minút a pokyn je 4 hodiny 26 minút. Pamätá si, že počítali s chybou 0,3 percenta. Dá údaje do kalkulačky a kalkulačka odpovie, že všetko je v poriadku... No nie. Tri desatiny percenta z 266 minút sú menej ako minúta. Ale mení niečo táto chyba? Možno to bol zámer?

Prečo o tom píšem? Mnohí matematici si tiež položili túto otázku: predstavte si komunitu. Nemajú našu ľudskú myseľ. Pre nás sú 1609,12134 a 1609,23245 veľmi blízke čísla – dobré aproximácie k anglickej míli. Počítače však môžu považovať čísla 468146123456123456 a 9999999123456123456 za blízke. Majú rovnaké dvanásťmiestne koncovky.

Čím častejšie sú číslice na konci, tým sú čísla bližšie. A to vedie k takzvanej vzdialenosti -adický. Nech sa p na chvíľu rovná 10; prečo len „na chvíľu“, vysvetlím... teraz. 10-bodová vzdialenosť vyššie napísaných čísel je 

alebo jedna milióntina – pretože tieto čísla majú na konci šesť spoločných číslic. Všetky celé čísla sa líšia od nuly o jeden alebo menej. Nebudem písať ani šablónu, pretože to nemá význam. Čím viac rovnakých čísel na konci, tým sú čísla bližšie (u človeka sa naopak berú do úvahy počiatočné čísla). Je dôležité, aby p bolo prvočíslo.

Potom - majú radi nuly a jednotky, takže všetko vidia v týchto vzorcoch: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

V románe Glos Pana si Stanisław Lem najíma vedcov, aby sa pokúsili prečítať správu odoslanú z posmrtného života, samozrejme s kódom nula-jedna. Napíše nám niekto? Lem tvrdí, že „akákoľvek správa sa dá prečítať, ak ide o správu, ktorou nám niekto chcel niečo povedať“. Ale je to tak? S touto dilemou nechám čitateľov.

Žijeme v XNUMXD priestore R³. List R pripomína, že osi pozostávajú z reálnych čísel, teda celých čísel, záporných a kladných, nulových, racionálnych (t. j. zlomkov) a iracionálnych, s ktorými sa čitatelia stretli v škole (), a čísel známych ako transcendentálne čísla, neprístupné v algebre (ide o číslo π , ktorý už viac ako dvetisíc rokov spája priemer kruhu s jeho obvodom).

Čo ak by osami nášho priestoru boli -adické čísla?

Jerzy Mioduszowski, matematik zo Sliezskej univerzity, tvrdí, že by to tak mohlo byť, ba dokonca by to tak mohlo byť. Môžeme (hovorí Jerzy Mioduszowski) obsadiť rovnaké miesto vo vesmíre s takýmito bytosťami, bez toho, aby sme sa rušili a bez toho, aby sme sa videli.

Takže musíme preskúmať celú geometriu „ich“ sveta. Je nepravdepodobné, že by si „oni“ o nás mysleli to isté a študovali aj našu geometriu, pretože ten náš je hraničným prípadom všetkých „ich“ svetov. „Oni“, teda všetky pekelné svety, kde sú prvočísla. Najmä = 2 a tento fascinujúci svet nula-jedna...

Tu môže byť čitateľ článku nahnevaný a dokonca nahnevaný. "To je ten druh nezmyslov, čo robia matematici?" Fantazírujú o pití vodky po večeri za moje (=daňové) peniaze. A rozptýliť ich do štyroch vetrov, nech idú na štátne statky ... ach, už niet štátnych statkov!

Uvoľnite sa. vždy mali sklony k takýmto vtipom. Dovoľte mi spomenúť len sendvičovú vetu: ak mám sendvič so syrom a šunkou, môžem ho nakrájať na polovicu, aby som rozpolil žemľu, šunku a syr. To je v praxi zbytočné. Ide o to, že ide len o hravú aplikáciu zaujímavej všeobecnej vety z funkcionálnej analýzy.

Aké vážne je zaoberať sa -adickými číslami a súvisiacou geometriou? Dovoľte mi pripomenúť čitateľovi, že racionálne čísla (zjednodušene: zlomky) ležia husto na čiare, ale nevypĺňajú ju tesne.

Iracionálne čísla žijú v „dierach“. Je ich veľa, nekonečne veľa, no dá sa povedať aj to, že ich nekonečno je väčšie ako tých najjednoduchších, do ktorých počítame: jeden, dva, tri, štyri ... a tak ďalej až po ∞. To je naša ľudská výplň „dier“. Túto mentálnu štruktúru sme zdedili od Pythagorejci. 

Čo je však zaujímavé a dôležité pre matematika je, že tieto diery nemožno „zaplniť“ iracionálnymi a p-adickými číslami (pre všetky prvočísla p). Pre tých čitateľov, ktorí tomu rozumejú (a toto sa učilo na každej strednej škole pred tridsiatimi rokmi), ide o to, že každá sekvencia, ktorá vyhovuje Cauchyho stav, konverguje.

Priestor, v ktorom to platí, sa nazýva úplný („nič nechýba“). Zapamätám si číslo 547721051611007740081787109376.

Postupnosť 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 a tak ďalej konverguje k určitej hranici, ktorá je približne 0,5477210516110077400 81787109376.

Z pohľadu 10-adickej vzdialenosti však postupnosť čísel 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 a tak ďalej konverguje aj k „čudnému“ číslu ... 547721051 611007740081787109376.

Ale ani to nemusí byť dostatočný dôvod na to, aby sme vedcom dávali verejné peniaze. Vo všeobecnosti sa my (matematici) bránime tým, že sa nedá predpovedať, na čo bude náš výskum užitočný. Je takmer isté, že každý bude nejako užitočný a že iba akcia na širokom fronte má šancu na úspech.

Jeden z najväčších vynálezov, röntgenový prístroj, bol vytvorený po náhodnom objavení rádioaktivity Bekkerela. Nebyť tohto prípadu, dlhé roky výskumu by boli zrejme zbytočné. "Hľadáme spôsob, ako urobiť röntgen ľudského tela."

Nakoniec to najdôležitejšie. Všetci sa zhodujú na tom, že svoju úlohu zohráva schopnosť riešiť rovnice. A tu sú naše podivné čísla dobre chránené. Zodpovedajúca veta (Neznášam Minkowského) hovorí, že niektoré rovnice možno riešiť v racionálnych číslach vtedy a len vtedy, ak majú skutočné korene a korene v každom -adickom telese.

Viac-menej tento prístup bol prezentovaný Andrew Wiles, ktorá vyriešila najznámejšiu matematickú rovnicu za posledných tristo rokov - odporúčam čitateľom zadať si ju do vyhľadávača "Fermatova posledná veta".