Farebné štvorce a zatmenia Slnka

Článok popisuje moje hodiny pre stredoškolákov – štipendistov Národného detského fondu. Nadácia vyhľadáva najmä nadané deti a mládež (od XNUMX. ročníka základnej školy až po strednú školu) a vybraným žiakom ponúka „štipendiá“. Tie však vôbec nespočívajú vo výbere hotovosti, ale v komplexnej starostlivosti o rozvoj talentu spravidla počas mnohých rokov. Na rozdiel od mnohých iných projektov tohto typu, známi vedci, kultúrne osobnosti, významní humanisti a iní múdri ľudia, ale aj niektorí politici berú zverencov nadácie vážne.

Činnosť nadácie zasahuje do všetkých odborov, ktoré sú predmetmi základnej školy, okrem športu, vrátane umenia. Fond vznikol v roku 1983 ako protijed na vtedajšiu realitu. Do fondu sa môže prihlásiť ktokoľvek (zvyčajne cez školu, najlepšie do konca školského roka), ale, samozrejme, je tam určité sito, určitý kvalifikačný postup.

Ako som už spomínal, článok vychádza z mojich majstrovských kurzov, konkrétne v Gdyni, v marci 2016 na 24. juniorskej strednej škole na strednej škole III. námorníctvo. Tieto semináre už dlhé roky organizuje pod záštitou nadácie Wojciech Thomalczyk, učiteľ mimoriadnej charizmy a vysokej intelektuálnej úrovne. V roku 2008 sa dostal do prvej desiatky v Poľsku, ktorým bol udelený titul profesor pedagogiky (pred mnohými rokmi ustanovený zákonom). Vo výroku je mierne zveličenie: „Vzdelanie je osou sveta“.

a mesiac sú vždy fascinujúce – potom môžete mať pocit, že žijeme na malej planéte v obrovskom priestore, kde je všetko v pohybe, meranom v centimetroch a sekundách. Dokonca ma to trochu desí, aj to časové hľadisko. Dozvedáme sa, že ďalšie úplné zatmenie, viditeľné z oblasti dnešnej Varšavy, bude v ... 2681. Som zvedavý, kto to uvidí? Zdanlivé veľkosti Slnka a Mesiaca na našej oblohe sú takmer rovnaké – preto sú zatmenia také krátke a také veľkolepé. Po stáročia by tieto krátke minúty mali astronómom stačiť na to, aby videli slnečnú korónu. Je zvláštne, že sa dejú dvakrát do roka... ale to znamená len to, že niekde na Zemi ich možno vidieť na krátky čas. V dôsledku slapových pohybov sa Mesiac vzďaľuje od Zeme - o 260 miliónov rokov bude tak ďaleko, že my (my???) uvidíme len prstencové zatmenia.

Zrejme prvý, kto predpovedal zatmenie, bol Táles z Milétu (28-585 storočia pred Kristom). Či sa to skutočne stalo, teda či to predpovedal, sa už asi nedozvieme, pretože to, že k zatmeniu v Malej Ázii došlo 567. mája 566 pred Kristom, je fakt potvrdený modernými výpočtami. Samozrejme, uvádzam údaje pre dnešnú evidenciu času. Keď som bol dieťa, predstavoval som si, ako ľudia počítajú roky. Tak toto je napríklad XNUMX rokov pred naším letopočtom, Silvester sa blíži a ľudia sa tešia: už len XNUMX rokov pred naším letopočtom! Akí šťastní museli byť, keď konečne nastala „naša éra“! Aký prelom tisícročí sme zažili pred niekoľkými rokmi!

Matematika výpočtu dátumov a rozsahov zatmenia, nie je nijak zvlášť zložitá, ale je prešpikovaná všetkými možnými faktormi spojenými s pravidelnosťou a čo je ešte horšie, s nerovnomerným pohybom tela na obežných dráhach. Dokonca by som rád vedel túto matematiku. Ako mohol Thales z Milétu urobiť potrebné výpočty? Odpoveď je jednoduchá. Musíte mať mapu oblohy. Ako urobiť takúto mapu? To tiež nie je ťažké, starí Egypťania vedeli ako na to. O polnoci vychádzajú na strechu chrámu dvaja kňazi. Každý si sadne a nakreslí, čo vidí (ako jeho kolega). Po dvetisíc rokoch vieme všetko o pohybe planét ...

Krásna geometria alebo zábava na „koberčeku“

Gréci nemali radi čísla, uchýlili sa ku geometrii. To je to, čo urobíme. náš zatmenie budú jednoduché, farebné, no rovnako zaujímavé a skutočné. Prijímame konvenciu, že modrá figúrka sa pohybuje tak, že zatieni červenú. Nazvime modrú postavu mesiac a červenú postavu slnko. Kladieme si nasledujúce otázky:

1. ako dlho trvá zatmenie;
2. keď je pokrytá polovica cieľa;

   Ryža. 1 Viacfarebný "koberec" so slnkom a mesiacom

3. aké je maximálne pokrytie;
4. je možné analyzovať závislosť pokrytia štítom od času? V tomto článku (som limitovaný množstvom textu) sa zameriam na druhú otázku. Je za tým pekná geometria, snáď bez nudných výpočtov. Pozrime sa na obr. 1. Dá sa predpokladať, že bude spojené s ... zatmením Slnka?

Úprimne musím povedať, že úlohy, o ktorých budem diskutovať, budú špeciálne vybrané, prispôsobené vedomostiam a zručnostiam študentov stredných a vysokých škôl. Ale trénujeme na také úlohy, ako hudobníci hrajú stupnice a športovci robia všeobecné rozvojové cvičenia. Okrem toho, nie je to len krásny koberec (obr. 1)?

Ryža. 2 „Modrý“ mesiac a „Červené“ slnko

Naše nebeské telesá, aspoň spočiatku, budú farebné štvorce. Mesiac je modrý, slnko červené (najlepšie na vyfarbenie). so súčasnosťou zatmenie Mesiac ženie slnko po oblohe, dobieha ho ... a zatvára ho. Rovnako to bude aj u nás. Najjednoduchší prípad, keď sa Mesiac pohybuje vzhľadom na Slnko, ako je znázornené na obr. 2. Zatmenie začína, keď sa okraj mesačného kotúča dotkne okraja kotúča Slnka (obr. 2) a končí, keď ho prekročí.

Ryža. 3 Mesiac sa k slnku približuje diagonálne

Predpokladáme, že „Mesiac“ sa posunie o jednu bunku za jednotku času, napríklad za minútu. Zatmenie potom trvá osem jednotiek času, povedzme minút. Polovicu zatmenia Slnka úplne stmavené Polovica ciferníka sa zatvorí dvakrát: po 2 a 6 minútach. Graf percenta zatemnenia je jednoduchý. Počas prvých dvoch minút sa štít zatvára rovnomerne rýchlosťou nula až 1, ďalšie dve minúty sa odhaľuje rovnakou rýchlosťou.

Tu je zaujímavejší príklad (obr. 3). Mesiac sa k slnku približuje diagonálne. Podľa našej dohody o platbách za minútu trvá zatmenie 8√2 minúty - v polovici tohto času máme úplné zatmenie. Vypočítajme, aká časť slnka je pokrytá po čase t (obr. 3). Ak od začiatku zatmenia uplynulo t minút a v dôsledku toho je Mesiac taký, ako je znázornené na obr. 5, teda (pozor!) Preto je pokrytá (plocha štvorca APQR), rovná sa polovici slnečného disku; preto bola pokrytá, keď, t.j. po 4 minútach (potom 4 minúty pred koncom zatmenia).

Ryža. 4 Graf funkcie „tienenia“.

Totalita trvá jeden okamih (t = 4√2), a graf funkcie „tieňovaná časť“ pozostáva z dvoch oblúkov parabol (obr. 4).

Náš modrý mesiac sa dotkne rohu s červeným slnkom, ale zakryje ho nie diagonálne, ale mierne diagonálne, zaujímavá geometria sa objaví, keď trochu skomplikujeme pohyb (obr. 6). Smer pohybu je teraz vektorový [4,3], teda „štyri bunky doprava, tri bunky hore“. Poloha Slnka je taká, že zatmenie začína (poloha A), keď sa strany „nebeských telies“ zbiehajú do štvrtiny ich dĺžky. Keď sa Mesiac presunie do polohy B, zatmí jednu šestinu Slnka a v polohe C polovicu. V polohe D máme úplné zatmenie a potom sa všetko vráti späť, „ako bolo“.

Ryža. 5 Časť Slnka ukrytá v čase t

Zatmenie končí, keď je Mesiac v polohe G. Trvalo tak dlho ako dĺžka úseku AG. Ak, ako predtým, vezmeme ako jednotku času čas, za ktorý Mesiac prejde „jeden štvorec“, potom je dĺžka AG rovnaká. Ak by sme sa vrátili k starej konvencii, že naše nebeské telesá sú 4 x 4, výsledok by bol iný (aký?). Ako sa dá ľahko ukázať, cieľ sa uzavrie po t < 15. Graf funkcie „percento pokrytia obrazovky“ je možné vidieť na obr. 6.

Ryža. 6 Graf funkcie „percentnej ochrany“.

Rovnica zatmenia a skoku

Ryža. 7 Prekážka slnečného disku počas zatmenia znázorneného na obr. 6

Problém zatmení by bol neúplný, keby sme nezohľadnili prípad kružníc. Je to oveľa komplikovanejšie, ale skúsme prísť na to, kedy jeden kruh zatmie polovicu druhého - a v najjednoduchšom prípade, keď sa jeden z nich pohybuje pozdĺž priemeru, ktorý ich oba spája. Kresbu poznajú držitelia niektorých kreditných kariet.

Výpočet polohy polí je komplikovaný, pretože vyžaduje po prvé znalosť vzorca pre oblasť kruhového segmentu, po druhé znalosť oblúka uhla a po tretie (a najhoršie zo všetkého) schopnosť vyriešiť určitú skokovú rovnicu. Nebudem vysvetľovať, čo je to „tranzitívna rovnica“, pozrime sa na príklad (obr. 8).

Ryža. 8 "Sférické" zatmenie

Kruhová časť je "miska", ktorá zostane po vyrezaní kruhu s priamkou. Plocha takéhoto segmentu je S = 1/2r²(φ-sinφ), kde r je polomer kruhu a φ je stredový uhol, na ktorom segment spočíva (obr. 8). To sa dá ľahko získať odčítaním plochy trojuholníka od plochy kruhového sektora.

Epizóda O₁O₂ (vzdialenosť medzi stredmi kruhov) sa potom rovná 2rcosφ/2 a výška (šírka, „pás“) h = 2rsinφ/2. Ak teda chceme vypočítať, kedy Mesiac zakryje polovicu slnečného disku, musíme vyriešiť rovnicu: z ktorej po zjednodušení vznikne:

Ryža. 9 Grafy dvoch funkcií

Riešenie takýchto rovníc presahuje jednoduchú algebru – rovnica obsahuje oba uhly a ich goniometrické funkcie. Rovnica je mimo dosahu tradičných metód. Preto sa to volá skočiť. Pozrime sa najprv na grafy oboch funkcií, teda funkcií a funkcií, z tohto obrázku môžeme vyčítať približné riešenie. Môžeme však získať iteračnú aproximáciu alebo... použiť možnosť Riešiteľ v tabuľke Excel. Toto by mal zvládnuť každý stredoškolák, veď je 20. storočie. Použil som sofistikovanejší nástroj Mathematica a tu je naše riešenie s XNUMX desatinnými miestami zbytočnej presnosti:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Ryža. 10 Animácia zatmenia v matematice

Premeníme to na stupne vynásobením 180/π. Získame 132 stupňov, 20 minút, 45 a štvrť oblúkovej sekundy. Vypočítame, že vzdialenosť od stredu kruhu je O₁O₂ = 0,808 polomer a "pás" 2,310.