TAK KOMU, teda: SKÚŠAJTE, KDE MÔŽETE - 2. časť

V predchádzajúcej epizóde sme sa zaoberali Sudoku, aritmetickou hrou, v ktorej sú čísla v podstate usporiadané do rôznych diagramov podľa určitých pravidiel. Najbežnejším variantom je šachovnica 9×9, navyše rozdelená na deväť buniek 3×3. Čísla od 1 do 9 musia byť na ňom nastavené tak, aby sa neopakovali ani vo zvislom rade (matematici hovoria: v stĺpci), ani vo vodorovnom rade (matematici hovoria: v rade) - a navyše tak, aby neopakujú sa. opakujte v akomkoľvek menšom štvorci.

Na obr. 1 tento hlavolam vidíme v jednoduchšej verzii, ktorou je štvorec 6 × 6 rozdelený na obdĺžniky 2 × 3. Vložíme doň čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6 - aby sa neopakovali vertikálne, ani horizontálne, ani v každom z vybraných šesťuholníkov.

Skúsme zobrazené v hornom štvorci. Dokážete ho doplniť číslami od 1 do 6 podľa pravidiel stanovených pre túto hru? Je to možné - ale nejednoznačné. Pozrime sa - nakreslite štvorec vľavo alebo štvorec vpravo.

Môžeme povedať, že to nie je základ pre hádanku. Zvyčajne predpokladáme, že hádanka má jedno riešenie. Úloha nájsť rôzne základne pre "veľké" Sudoku, 9x9, je náročná úloha a nie je šanca ju úplne vyriešiť.

Ďalším dôležitým spojením je rozporuplný systém. Dolný stredný štvorec (ten s číslom 2 v pravom dolnom rohu) nie je možné dokončiť. prečo?

Zábava a oddych

Hráme ďalej. Využime detskú intuíciu. Veria, že zábava je úvod do učenia. Poďme do vesmíru. zapnuté obr. 2 každý vidí mriežku štvorstenz loptičiek napríklad pingpongové loptičky? Spomeňte si na školské hodiny geometrie. Farby na ľavej strane obrázku vysvetľujú, na čo sa lepí pri montáži bloku. Zlepia sa najmä tri rohové (červené) gule do jednej. Preto ich musí byť rovnaký počet. Možno 9. Prečo? A prečo nie?

Oh, neformuloval som to úlohy. Znie to asi takto: je možné zapísať čísla od 0 do 9 do viditeľnej mriežky tak, aby každá tvár obsahovala všetky čísla? Úloha nie je náročná, ale koľko si musíte predstaviť! Nebudem kaziť radosť čitateľom a nepoviem riešenie.

Toto je veľmi krásny a podceňovaný tvar. pravidelný osemsten, postavený z dvoch pyramíd (=pyramíd) so štvorcovou základňou. Ako už názov napovedá, osemsten má osem tvárí.

V osemstene je šesť vrcholov. Je to v rozpore kockyktorý má šesť stien a osem vrcholov. Okraje oboch hrudiek sú rovnaké - dvanásť. Toto dvojité pevné látky - to znamená, že spojením stredov plôch kocky dostaneme osemsten a stredy plôch osemstenu nám dajú kocku. Oba tieto nárazy fungujú („pretože musia“) Eulerov vzorec: Súčet počtu vrcholov a počtu plôch je o 2 väčší ako počet hrán.

3. Pravidelný osemsten v rovnobežnom priemete a osemstenná mriežka zložená z gúľ tak, že každá hrana má štyri gule.

Úloha 1. Najprv si zapíšte poslednú vetu predchádzajúceho odseku pomocou matematického vzorca. Na obr. 3 vidíte oktaedrickú mriežku, tiež zloženú z gúľ. Každá hrana má štyri gule. Každá tvár je trojuholníkom desiatich gúľ. Úloha je nastavená nezávisle: či je možné vložiť do kruhov mriežky čísla od 0 do 9 tak, aby po zlepení pevného telesa každá stena obsahovala všetky čísla (z toho vyplýva, že bez opakovania). Ako predtým, najväčším problémom pri tejto úlohe je, ako sa sieťka premení na pevné telo. Neviem to písomne ​​vysvetliť, preto ani tu neuvádzam riešenie.

4. Dva dvadsaťsteny z pingpongových loptičiek. Všimnite si inú farebnú schému.

už Plato (a žil v XNUMX.-XNUMX. storočí pred Kristom) poznal všetky pravidelné mnohosteny: štvorsten, kocku, osemsten, demaэдр i dvadsaťsten. Je úžasné, ako sa tam dostal – žiadna ceruzka, žiadny papier, žiadne pero, žiadne knihy, žiadny smartfón, žiadny internet! Nebudem tu hovoriť o dvanástich stenách. Zaujímavé je ale dvadsaťstenové sudoku. Vidíme túto hrudku ilustrácia 4a jeho sieť obr.

5. Pravidelná sieť dvadsaťstenu.

Ako predtým, nejde o mriežku v zmysle, v akom si ju pamätáme (?!) zo školy, ale o spôsob lepenia trojuholníkov z loptičiek (guliek).

Úloha 2. Koľko guličiek je potrebných na vytvorenie takého dvadsaťstenu? Stále platí nasledujúca úvaha: keďže každá stena je trojuholník, ak má byť 20 stien, potom je potrebných až 60 gúľ?

6. Mriežka dvadsaťstena z gúľ. Každý kruh je napríklad pingpongová loptička, no konštrukcia kruhov na kruhoch označených rovnakou farbou splýva do jedného. Máme teda dvanásť gúľ (= dvanásť vrcholov: červená, modrá, fialová, modrá a osem žltých).

Je ľahké vidieť, že tri čísla v dvadsaťstene nestačia. Presnejšie: nie je možné vyčísliť vrcholy číslami 1, 2, 3 tak, aby každá (trojuholníková) plocha mala tieto tri čísla a aby sa neopakovali. Je to možné so štyrmi číslami? Áno, je to možné! Poďme sa pozrieť na Ryža. 6 a 7.

7. Tu je návod, ako očíslovať gule, ktoré tvoria dvadsaťsten tak, aby každá plocha obsahovala iné čísla ako 1, 2, 3, 4. Ktoré z telies na obr. 4 je sfarbená takto?

Úloha 3. Tri zo štyroch čísel možno vybrať štyrmi spôsobmi: 123, 124, 134, 234. Nájdite päť takýchto trojuholníkov v dvadsaťstene na obr. 7 (ako aj od ilustrácie 4).

Úloha 4 (vyžaduje veľmi dobrú priestorovú predstavivosť). Dvanásťstenov má dvanásť vrcholov, čo znamená, že sa dá zlepiť z dvanástich guličiek (obr. 7). Všimnite si, že existujú tri vrcholy (=gule) označené 1, tri 2 atď. Guľôčky rovnakej farby tak tvoria trojuholník. Čo je to za trojuholník? Možno rovnostranný? Pozrite sa znova ilustrácie 4.

Ďalšia úloha pre starého otca / babku a vnuka / vnučku. Rodičia si to konečne môžu vyskúšať tiež, no potrebujú trpezlivosť a čas.

Úloha 5. Kúpte si dvanásť (najlepšie 24) pingpongových loptičiek, nejaké štyri farby farby, štetec a správne lepidlo - rýchle ako Superglue alebo Droplet neodporúčam, pretože príliš rýchlo schnú a sú pre deti nebezpečné. Lepidlo na dvadsaťsten. Oblečte svoju vnučku do trička, ktoré hneď potom vyperie (alebo vyhodí). Stôl prikryte fóliou (najlepšie novinami). Opatrne vyfarbite dvadsaťsten štyrmi farbami 1, 2, 3, 4, ako je znázornené na obr. obr. 7. Poradie môžete zmeniť - balóniky najskôr vyfarbite a potom lepte. Drobné krúžky zároveň treba nechať nenatreté, aby sa farba nelepila na farbu.

Teraz najťažšia úloha (presnejšie celá ich postupnosť).

Úloha 6 (Presnejšie všeobecná téma). Nakreslite dvadsaťsten ako štvorsten a osemsten Ryža. 2 a 3 To znamená, že na každom okraji by mali byť štyri gule. V tomto variante je úloha časovo náročná a dokonca aj nákladná. Začnime tým, že zistíte, koľko loptičiek potrebujete. Každá tvár má desať gúľ, takže dvadsaťsten potrebuje dvesto? Nie! Musíme si uvedomiť, že veľa loptičiek sa delí. Koľko hrán má dvadsaťsten? Dá sa to pracne vypočítať, ale na čo slúži Eulerov vzorec?

w–k+s=2

kde w, k, s sú počet vrcholov, hrán a plôch. Pamätáme si, že w = 12, s = 20, čo znamená k = 30. Máme 30 hrán dvadsaťstena. Môžete to urobiť inak, pretože ak je trojuholníkov 20, potom majú iba 60 hrán, ale dva z nich sú spoločné.

Poďme si spočítať, koľko loptičiek potrebujete. V každom trojuholníku je len jedna vnútorná gulička – ani na vrchu nášho tela, ani na okraji. Celkovo teda máme 20 takýchto loptičiek. Existuje 12 vrcholov. Každá hrana má dve nevertexové guľôčky (sú vo vnútri hrany, ale nie vo vnútri plochy). Keďže hrán je 30, je ich 60, ale dve z nich sú spoločné, čo znamená, že potrebujete iba 30 guličiek, takže spolu potrebujete 20 + 12 + 30 = 62 guličiek. Loptičky sa dajú kúpiť minimálne za 50 halierov (zvyčajne drahšie). Ak k tomu pripočítate náklady na lepidlo, vyjde to...veľa. Dobré spojenie vyžaduje niekoľko hodín starostlivej práce. Spolu sú vhodné na oddychovú zábavu - odporúčam ich napríklad namiesto pozerania televízie.

Ústup 1. Vo filmovom seriáli Andrzeja Wajdu Roky, dni hrajú dvaja muži šach, „pretože musia nejako stráviť čas do večere“. Odohráva sa v Haličskom Krakove. Vskutku: noviny už boli prečítané (vtedy mali 4 strany), televízia a telefón ešte neboli vynájdené, futbalové zápasy sa nekonajú. Nuda v mlákach. V takejto situácii si ľudia vymýšľali zábavu pre seba. Dnes ich máme po stlačení diaľkového ovládača ...

Ústup 2. Na stretnutí Asociácie učiteľov matematiky v roku 2019 španielsky profesor predviedol počítačový program, ktorý dokáže vymaľovať pevné steny v akejkoľvek farbe. Bolo to trochu strašidelné, pretože kreslili iba ruky, takmer odrezali telo. Pomyslel som si: koľko zábavy sa dá zažiť na takomto „tienení“? Všetko trvá dve minúty a o štvrtej si už nič nepamätáme. Medzitým staromódne „vyšívanie“ upokojuje a vychováva. Kto neverí, nech skúsi.

Vráťme sa do XNUMX storočia a do našej reality. Ak nechceme relax v podobe pracného lepenia guľôčok, tak si nakreslíme aspoň mriežku dvadsaťstenu, ktorého okraje majú štyri guľôčky. Ako to spraviť? Nasekajte to správne obr. Pozorný čitateľ už tuší problém:

Úloha 7. Je možné vyčísliť gule číslami od 0 do 9 tak, aby sa všetky tieto čísla objavili na každej strane takého dvadsaťstena?

Za čo sme platení?

Dnes si často kladieme otázku zmyslu našej činnosti a „šedý daňový poplatník“ sa opýta, prečo by mal platiť matematikom, aby riešili takéto rébusy?

Odpoveď je celkom jednoduchá. Takéto „hádanky“, zaujímavé samy o sebe, sú „úlomkom niečoho vážnejšieho“. Vojenské prehliadky sú predsa len vonkajšou, veľkolepou súčasťou neľahkej služby. Uvediem len jeden príklad, ale začnem zvláštnym, no medzinárodne uznávaným matematickým predmetom. V roku 1852 sa anglický študent spýtal svojho profesora, či je možné vyfarbiť mapu štyrmi farbami, aby sa susedné krajiny vždy zobrazovali inými farbami? Dovoľte mi dodať, že za „susedov“ nepovažujeme tých, ktorí sa stretávajú len v jednom bode, ako sú štáty Wyoming a Utah v USA. Profesor nevedel... a problém čakal na riešenie vyše sto rokov.

8. Ikosahedrón z tvárnic RECO. Bleskové reflektory ukazujú, čo má dvadsaťsten spoločné s trojuholníkom a päťuholníkom. V každom vrchole sa zbieha päť trojuholníkov.

Stalo sa to nečakaným spôsobom. V roku 1976 skupina amerických matematikov napísala program na vyriešenie tohto problému (a rozhodli sa: áno, štyri farby budú vždy stačiť). Išlo o prvý dôkaz matematického faktu získaného pomocou „matematického stroja“ – ako sa počítač pred polstoročím nazýval (a ešte skôr: „elektronický mozog“).

Tu je špeciálne zobrazená „mapa Európy“ (obr. 9). Tie krajiny, ktoré majú spoločnú hranicu, sú prepojené. Vyfarbenie mapy je rovnaké ako vyfarbenie kruhov tohto grafu (nazývaného graf), takže žiadne spojené kruhy nemajú rovnakú farbu. Pohľad do Lichtenštajnska, Belgicka, Francúzska a Nemecka ukazuje, že tri farby nestačia. Ak chceš, čitateľ, vyfarbi to štyrmi farbami.

9. Kto s kým hraničí v Európe?

No áno, ale stojí to za peniaze daňových poplatníkov? Pozrime sa teda na ten istý graf trochu inak. Zabudnite, že existujú štáty a hranice. Kruhy nech symbolizujú informačné pakety, ktoré sa majú odoslať z jedného bodu do druhého (napríklad z P do EST), a segmenty predstavujú možné spojenia, z ktorých každé má svoju vlastnú šírku pásma. Odoslať čo najskôr?

Najprv sa pozrime na veľmi zjednodušenú, no aj z matematického hľadiska veľmi zaujímavú situáciu. Musíme poslať niečo z bodu S (= ako začiatok) do bodu M (= cieľ) pomocou pripojovacej siete s rovnakou šírkou pásma, povedzme 1. Vidíme to v obr. 10.

10. Sieť spojov zo Statsyika Zdrój do Megapolisu.

Predstavme si, že z S do M treba poslať asi 89 bitov informácií. Autor týchto slov má rád problémy o vlakoch, a tak si predstavuje, že je manažérom v Stacie Zdrój, odkiaľ musí poslať 144 vagónov. na metropolitnú stanicu. Prečo práve 144? Pretože, ako uvidíme, toto sa použije na výpočet priepustnosti celej siete. Kapacita je 1 v každej šarži, t.j. za jednotku času môže prejsť jedno auto (jeden informačný bit, prípadne aj Gigabajt).

Dbajme na to, aby sa všetky autá stretli v rovnakom čase v M. Každý sa tam dostane za 89 jednotiek času. Ak mám poslať veľmi dôležitý informačný paket od S do M, rozdelím ho do skupín po 144 jednotkách a pretlačím, ako je uvedené vyššie. Matematika zaručuje, že to bude najrýchlejšie. Ako som vedel, že potrebuješ 89? Vlastne som tušil, ale ak by som neuhádol, musel by som na to prísť Kirchhoffove rovnice (pamätá si niekto? - to sú rovnice popisujúce tok prúdu). Šírka pásma siete je 184/89, čo sa približne rovná 1,62.

O radosti

Mimochodom, páči sa mi číslo 144. Rád som sa s týmto číslom viezol autobusom na Zámocké námestie vo Varšave – keď pri ňom nestál obnovený Kráľovský hrad. Snáď mladí čitatelia vedia, čo je to tuctovka. To je 12 exemplárov, ale len starší čitatelia si pamätajú, že tucet tucet, tzn. 122=144, ide o takzvaný lot. A každý, kto ovláda matematiku trochu viac ako školské osnovy, to hneď pochopí obr. 10 máme Fibonacciho čísla a že šírka pásma siete je blízka „zlatému číslu“

Vo Fibonacciho postupnosti je 144 jediné číslo, ktoré je dokonalým štvorcom. Stoštyridsaťštyri je tiež „radostné číslo“. Tak to hovorí indický amatérsky matematik Dattatreya Ramachandra Caprecar v roku 1955 pomenoval čísla, ktoré sú deliteľné súčtom ich základných číslic:

Keby to vedel Adam Mickiewicz, určite by v Dzyady napísal nie: „Od cudzej matky; jeho krv sú jeho starí hrdinovia / A volá sa štyridsaťštyri, len elegantnejšie: A volá sa stoštyridsaťštyri.

Berte zábavu vážne

Dúfam, že som čitateľov presvedčil, že sudoku sú zábavnou stránkou otázok, ktoré si určite zaslúžia brať vážne. Nemôžem túto tému ďalej rozvíjať. Oh, výpočet plnej šírky pásma siete z diagramu uvedeného na obr. 9 napísanie sústavy rovníc by zabralo dve a viac hodín – možno aj desiatky sekúnd (!) práce na počítači.