Cesta do neskutočného sveta matematiky

Tento článok som napísal v jednom z prostredí po prednáške a praxi na vysokej škole informatiky. Bránim sa kritike žiakov tejto školy, ich vedomostí, prístupu k vede a hlavne ich pedagogických schopností. Toto ich nikto neučí.

Prečo som taký defenzívny? Z jednoduchého dôvodu – som vo veku, kedy zrejme ešte svet okolo nás nie je pochopený. Možno ich učím zapriahať a odstrojiť kone, a nie riadiť auto? Možno ich naučím písať brkom? Aj keď mám o človeku lepšiu mienku, považujem sa za „nasledovateľa“, ale...

Ešte nedávno sa na strednej škole hovorilo o komplexných číslach. A práve túto stredu som prišiel domov, skončil som – takmer nikto zo študentov sa ešte nenaučil, čo to je a ako tieto čísla používať. Niektorí pozerajú na celú matematiku ako hus na maľované dvere. Bol som však tiež úprimne prekvapený, keď mi povedali, ako sa učiť. Zjednodušene povedané, každá hodina prednášky sú dve hodiny domácej úlohy: čítanie učebnice, učenie sa riešenia úloh na danú tému atď. Takto pripravení sa dostávame k cvičeniam, kde všetko zdokonaľujeme... Príjemne si študenti zrejme mysleli, že sedenie na prednáške – najčastejšie pohľad z okna – už zaručuje zápis vedomostí do hlavy.

Stop! Dosť toho. Opíšem moju odpoveď na otázku, ktorú som dostal na hodine so štipendistami Národného detského fondu, inštitúcie, ktorá podporuje talentované deti z celej republiky. Otázka (alebo skôr návrh) znela:

— Mohli by ste nám povedať niečo o neskutočných číslach?

"Samozrejme," odpovedal som. 

Realita čísel

"Priateľ je iné ja, priateľstvo je pomer čísel 220 a 284," povedal Pytagoras. Ide o to, že súčet deliteľov čísla 220 je 284 a súčet deliteľov čísla 284 je 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 XNUMX

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Mimochodom, poznamenávame, že biblický Jakub dal Ezauovi 220 oviec a baranov na znak priateľstva (Genesis 32:14 ).

Ďalšia zaujímavá zhoda medzi číslami 220 a 284 je táto: sedemnásť najvyšších prvočísel je 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , a 59.

Ich súčet je 2x220 a súčet štvorcov je 59x284.

Najprv. Neexistuje pojem „skutočné číslo“. Je to ako keď sa po prečítaní článku o slonoch opýtate: "Teraz sa budeme pýtať na neslony." Existujú celé a necelé, racionálne a iracionálne, ale neexistujú žiadne nereálne. Konkrétne: čísla, ktoré nie sú skutočné, sa neoznačujú za neplatné. V matematike existuje veľa druhov „čísel“ a navzájom sa líšia, ako napríklad – zoologické porovnanie – slon a dážďovka.

Po druhé, vykonáme operácie, o ktorých už možno viete, že sú zakázané: extrahovanie druhých odmocnín zo záporných čísel. Nuž, matematika takéto bariéry prekoná. Má to však zmysel? V matematike, rovnako ako v každej inej vede, to, či teória navždy vstúpi do úložiska vedomostí, závisí ... od jej aplikácie. Ak je to zbytočné, tak to skončí v koši, potom v nejakom odpade histórie poznania. Bez čísel, o ktorých hovorím na konci tohto článku, nie je možné rozvíjať matematiku. Začnime však malými vecami. Čo sú skutočné čísla, viete. Číselný rad vypĺňajú husto a bez medzier. Tiež viete, čo sú prirodzené čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - všetky sa nezmestia pamäť aj tá najväčšia. Majú tiež krásny názov: prírodný. Majú toľko zaujímavých vlastností. Ako sa vám páči toto:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

„Je prirodzené, že sa zaujímame o prirodzené čísla,“ povedal Karl Lindenholm a Leopold Kronecker (1823 – 1891) to vyjadrili stručne: „Boh stvoril prirodzené čísla – všetko ostatné je dielom človeka! Zlomky (matematici nazývané racionálne čísla) majú tiež úžasné vlastnosti:

a v rovnosti:

môžete, počnúc ľavou stranou, trieť plusy a nahradiť ich znakmi násobenia - a rovnosť zostane pravdivá:

A tak ďalej.

Ako viete, pre zlomky a/b, kde a a b sú celé čísla a b ≠ 0, hovoria racionálne číslo. Ale len v poľštine sa tak nazývajú. Hovorí anglicky, francúzsky, nemecky a rusky. racionálne číslo. V angličtine: racionálne čísla. Iracionálne čísla je to iracionálne, iracionálne. Hovoríme po poľsky aj o iracionálnych teóriách, ideách a skutkoch – to je šialenstvo, vymyslené, nevysvetliteľné. Hovorí sa, že ženy sa boja myší – nie je to také iracionálne?

V dávnych dobách mali čísla dušu. Každý niečo znamenal, každý niečo symbolizoval, každý odrážal časticu tej harmónie Vesmíru, teda po grécky Kozmu. Samotné slovo „kozmos“ znamená presne „poriadok, poriadok“. Najdôležitejšie boli šestka (dokonalé číslo) a desať, súčet po sebe idúcich čísel 1+2+3+4, zložený z ďalších čísel, ktorých symbolika sa zachovala dodnes. Pytagoras teda učil, že čísla sú počiatkom a zdrojom všetkého a iba objavom iracionálne čísla obrátil pythagorejské hnutie ku geometrii. Úvahu poznáme zo školy, že

√2 je iracionálne číslo

Predpokladajme, že existuje: a že tento zlomok nemožno zmenšiť. Najmä p aj q sú nepárne. Umocnime: 2q²=p². Číslo p nemôže byť nepárne, odvtedy p² by tiež bolo a ľavá strana rovnosti je násobkom 2. Preto p je párne, t.j. p = 2r, teda p²= 4r². Znížime rovnicu 2q²= 4r² o 2. Dostaneme q²= 2r² a vidíme, že q musí byť tiež párne, čo sme predpokladali, že to tak nie je. Výsledný rozpor dopĺňa dôkaz - tento vzorec možno často nájsť v každej matematickej knihe. Tento nepriamy dôkaz je obľúbeným trikom sofistov.

Túto nesmiernosť nemohli Pytagorejci pochopiť. Všetko sa musí dať opísať číslami a uhlopriečka štvorca, ktorú môže ktokoľvek nakresliť palicou po piesku, nemá žiadnu, teda merateľnú dĺžku. Zdá sa, že Pytagorejci hovoria: „Naša viera bola márna. Ako to? Je to akési... iracionálne. Únia sa snažila zachrániť sektárskymi metódami. Každý, kto sa odváži odhaliť svoju existenciu iracionálne čísla, mal byť potrestaný smrťou a prvý rozsudok zrejme vykonal sám majster.

Ale „myšlienka prešla bez ujmy“. Nastal zlatý vek. Gréci porazili Peržanov (Maratón 490, Blok 479). Posilnila sa demokracia, vznikli nové centrá filozofického myslenia a nové školy. Pytagoriáni stále zápasili s iracionálnymi číslami. Niektorí kázali: nepochopíme toto tajomstvo; môžeme len kontemplovať a žasnúť nad Uncharted. Tí druhí boli pragmatickejší a nerešpektovali Záhadu. V tom čase sa objavili dve mentálne konštrukcie, ktoré umožnili pochopiť iracionálne čísla. To, že im dnes dostatočne rozumieme, patrí Eudoxovi (XNUMX. storočie pred n. l.) a až koncom XNUMX. storočia dal nemecký matematik Richard Dedekind teórii Eudoxus náležitý rozvoj v súlade s požiadavkami rigoróznej matematická logika.

omša postáv alebo mučenie

Dokázali by ste žiť bez čísel? Aj keby, aký by bol život... Museli by sme si ísť do obchodu kúpiť topánky s palicou, ktorej sme predtým zmerali dĺžku chodidla. "Chcel by som jablká, ach, tu sú!" – ukázali by sme predajcov na trhu. „Ako ďaleko je z Modlinu do Nowy Dwur Mazowiecki“? "Celkom blízko!"

Na meranie sa používajú čísla. S ich pomocou vyjadrujeme aj mnohé ďalšie pojmy. Napríklad mierka mapy ukazuje, o koľko sa zmenšila plocha krajiny. Mierka dva ku jednej alebo jednoducho 2 vyjadruje skutočnosť, že sa niečo zdvojnásobilo. Povedzme matematicky: každej homogénnosti zodpovedá číslo – jeho mierka.

úloha. Urobili sme xerografickú kópiu, pričom sme obrázok niekoľkokrát zväčšili. Potom sa zväčšený fragment opäť zväčšil b-krát. Aká je všeobecná stupnica zväčšenia? Odpoveď: a × b vynásobené b. Tieto váhy je potrebné znásobiť. Číslo "mínus jedna", -1, zodpovedá jednej presnosti, ktorá je vycentrovaná, t. j. otočená o 180 stupňov. Aké číslo zodpovedá otočeniu o 90 stupňov? Takéto číslo neexistuje. Je, je... alebo skôr bude čoskoro. Ste pripravení na morálne mučenie? Naberte odvahu a vezmite druhú odmocninu z mínus jedna. Počúvam? Čo nemôžeš? Koniec koncov, povedal som ti, aby si bol odvážny. Vytiahni to! Hej, dobre, ťahaj, ťahaj... pomôžem... Tu: -1 Teraz, keď to máme, skúsme to použiť... Samozrejme, teraz môžeme extrahovať odmocniny všetkých záporných čísel, napr. príklad.:

√-4 = 2√-1,-16 = 4√-1

"Bez ohľadu na duševné utrpenie, ktoré to so sebou prináša." Toto napísal Girolamo Cardano v roku 1539, keď sa snažil prekonať duševné ťažkosti spojené s - ako sa to čoskoro začalo nazývať - imaginárne veličiny. Zvažoval tieto...

...úloha. Rozdeľte 10 na dve časti, ktorých súčin je 40. Pamätám si, že z predchádzajúcej epizódy napísal asi toto: Iste nemožné. Urobme však toto: rozdeľte 10 na dve rovnaké časti, každú rovnajúcu sa 5. Vynásobte ich - vyšlo 25. Od výsledných 25 teraz odpočítajte 40, ak chcete, a dostanete -15. Teraz sa pozrite: √-15 sčítané a odčítané od 5 vám dáva súčin 40. Toto sú čísla 5-√-15 a 5 + √-15. Overenie výsledku vykonal Cardano takto:

„Bez ohľadu na bolesť srdca, ktorú to so sebou prináša, vynásobte 5 + √-15 5-√-15. Dostaneme 25 - (-15), čo sa rovná 25 + 15. Súčin je teda 40 .... Je to naozaj ťažké.“

Koľko je: (1 + √-1) (1-√-1)? Poďme sa množiť. Pamätajte, že √-1 × √-1 = -1. skvelé. Teraz ťažšia úloha: od a + b√-1 po ab√-1. Čo sa stalo? Určite takto: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Čo je na tom zaujímavé? Napríklad to, že dokážeme faktorizovať výrazy, ktoré sme „predtým nepoznali“. Skrátený vzorec násobenia pre²-b² Pamätáte si vzorec pre²+b² nebolo, lebo nemohlo byť. V obore reálnych čísel polynóm²+b² je to nevyhnutné. Označme „našu“ druhú odmocninu z „mínus jedna“ písmenom i.²= -1. Je to „neskutočné“ prvočíslo. A to je to, čo popisuje otočenie lietadla o 90 stupňov. prečo? Po všetkom,²= -1 a kombináciou jednej rotácie o 90 stupňov a ďalšej rotácie o 180 stupňov získate rotáciu o 45 stupňov. Aký typ rotácie sa opisuje? Jednoznačne obrat o XNUMX stupňov. Čo znamená to -i? Je to trochu zložitejšie:

(-ja)² = -i x (-i) = +i² = -1

Takže -i tiež opisuje rotáciu o 90 stupňov, práve v opačnom smere rotácie i. Ktorá je ľavá a ktorá pravá? Musíte si dohodnúť stretnutie. Predpokladáme, že číslo i udáva rotáciu v smere, ktorý matematici považujú za kladný: proti smeru hodinových ručičiek. Číslo -i popisuje rotáciu v smere pohybu ukazovateľov.

Existujú však čísla ako i a -i? sú! Práve sme ich priviedli k životu. Počúvam? Že existujú len v našej hlave? No čo čakať? Všetky ostatné čísla tiež existujú iba v našej mysli. Musíme zistiť, či počet našich novorodencov prežije. Presnejšie, či je dizajn logický a či budú na niečo užitočné. Prosím, vezmite ma za slovo, že všetko je v poriadku a že tieto nové čísla sú skutočne užitočné. Čísla ako 3+i, 5-7i, všeobecnejšie: a+bi, sa nazývajú komplexné čísla. Ukázal som vám, ako ich môžete získať roztočením lietadla. Môžu byť zadané rôznymi spôsobmi: ako body v rovine, ako niektoré polynómy, ako nejaký druh číselných polí ... a zakaždým sú rovnaké: rovnica x² +1=0 nie je tam žiadny prvok... hókus pókus už je tam!!!! Radujme sa a radujme sa!!!

Koniec túry

Týmto sa končí naše prvé turné po krajine falošných čísel. Z ďalších nadpozemských čísel spomeniem aj tie, ktoré majú nekonečne veľa číslic vpredu, a nie vzadu (nazývajú sa 10-adické, pre nás sú dôležitejšie p-adické, kde p je prvočíslo), napr. príklad X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Počítajme, prosím, X². Ako? Čo ak vypočítame druhú mocninu čísla, za ktorým nasleduje nekonečný počet číslic? No urobme to isté. Vieme, že x² = X.

Nájdite ďalšie také číslo s nekonečným počtom číslic vpredu, ktoré vyhovuje rovnici. Pomôcka: druhá mocnina čísla, ktoré končí na šestku, sa tiež končí na šesť. Druhá mocnina čísla, ktoré končí číslom 76, končí tiež číslom 76. Druhá mocnina čísla, ktoré končí číslom 376, končí tiež číslom 376. Druhá mocnina čísla, ktoré končí číslom 9376, končí tiež číslom 9376. Druhá mocnina čísla, ktoré končí číslom XNUMX XNUMX na… Existujú aj čísla, ktoré sú také malé, že ak sú kladné, zostávajú menšie ako akékoľvek iné kladné číslo. Sú také maličké, že niekedy ich stačí umocniť na nulu. Existujú čísla, ktoré nespĺňajú podmienku a × b = b × a. Existujú aj nekonečné čísla. Koľko prirodzených čísel existuje? Nekonečne veľa? Áno, ale koľko? Ako sa to dá vyjadriť číslom? Odpoveď: najmenšie z nekonečných čísel; je označený krásnym písmenom: A a doplnený nulovým indexom A₀ , aleph-nula.

Sú aj čísla, o ktorých nevieme, že existujú... alebo ktorým môžete veriť či neveriť, ako chcete. A keď už hovoríme o podobnom: Dúfam, že sa vám stále páčia Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.