Jednoduché modely so zložitým správaním, t.j. chaos

Počítač je nástrojom, ktorý vedci čoraz viac využívajú na odhaľovanie tajomstiev starostlivo ukrytých prírodou. Modelovanie sa spolu s experimentom a teóriou stáva tretím spôsobom štúdia sveta.

Pred tromi rokmi sme na Sliezskej univerzite spustili program na integráciu počítačových metód do vzdelávania. Vďaka tomu vzniklo množstvo mimoriadne vzrušujúcich didaktických materiálov, ktoré uľahčujú a prehlbujú štúdium mnohých tém. Ako hlavný nástroj bol zvolený Python, ktorý je spolu so silou dostupných vedeckých knižníc asi tým najlepším riešením pre „počítačové experimenty“ s rovnicami, obrázkami či dátami. Jednou z najzaujímavejších implementácií kompletného pracovného stola je Sage [2]. Ide o otvorenú integráciu systému počítačovej algebry s jazykom Python a zároveň umožňuje okamžite začať hrať pomocou webového prehliadača a jednej z možných možností prístupu prostredníctvom cloudovej služby [3] alebo jediného výpočtového servera, na ktorom sa interaktívne verzia tohto článku je založená na [4] .

Chaos v ekológii

V 1. ročníku na Oxfordskej univerzite študoval austrálsky vedec Robert May teoretické aspekty demografickej dynamiky. Svoju prácu zhrnul v článku, ktorý vyšiel v časopise Nature pod provokatívnym názvom „Simple Mathematical Models with Very Complex Dynamics“ [XNUMX]. V priebehu rokov sa tento článok stal jednou z najcitovanejších prác v teoretickej ekológii. Čo spôsobilo taký záujem o túto prácu?

Klasickým problémom populačnej dynamiky je vypočítať budúcu populáciu konkrétneho druhu vzhľadom na jeho súčasný stav. Matematicky sa za najjednoduchšie považovali ekosystémy, v ktorých život jednej generácie obyvateľstva trvá jednu sezónu. Dobrým príkladom je populácia hmyzu, ktorá prejde úplnou metamorfózou v jednej sezóne, ako napríklad motýle. Čas je prirodzene rozdelený do samostatných období2 zodpovedajúcich životným cyklom populácie. Teda rovnice popisujúce takýto ekosystém majú prirodzene tzv diskrétny čas, t.j. t = 1,2,3…. Robert May sa zaoberal okrem iného aj takouto dynamikou. Vo svojom zdôvodnení zjednodušil ekosystém na jediný druh, ktorého populácia bola kvadratickou funkciou populácie predchádzajúceho roka. Odkiaľ pochádza tento model?

Najjednoduchšia diskrétna rovnica popisujúca vývoj populácie je lineárny model:

kde Ni je početnosť v i-tej sezóne a Ni + 1 popisuje populáciu v ďalšej sezóne. Je ľahké vidieť, že takáto rovnica môže viesť k trom scenárom. Keď a = 1, evolúcia nezmení veľkosť populácie a <1 vedie k vyhynutiu, a prípad a > 1 znamená neobmedzený rast populácie. To povedie k nerovnováhe v prírode. Keďže všetko v prírode je obmedzené, má zmysel upraviť túto rovnicu tak, aby zohľadňovala obmedzené množstvo zdrojov. Predstavte si, že škodcovia jedia obilie, ktoré je každý rok úplne rovnaké. Ak je hmyzu málo v porovnaní s množstvom potravy, ktorú dokáže rozmnožovať, dokáže sa rozmnožovať pri plnej reprodukčnej sile, matematicky určenej konštantou a > 1. S narastajúcim počtom škodcov však bude potravy ubúdať a reprodukčná schopnosť sa zníži. V kritickom prípade si možno predstaviť, že sa narodí toľko hmyzu, že zje všetko zrno skôr, ako sa stihne rozmnožiť, a populácia zomrie. Model, ktorý zohľadňuje tento efekt obmedzeného prístupu k jedlu, prvýkrát navrhol Verhulst v roku 1838. V tomto modeli nie je tempo rastu konštantné, ale závisí od stavu populácie:

Vzťah medzi rýchlosťou rastu a a Ni by mal mať nasledujúcu vlastnosť: ak sa populácia zvýši, rýchlosť rastu by sa mala znížiť, pretože prístup k potrave je ťažký. Samozrejme, existuje veľa funkcií s touto vlastnosťou: sú to funkcie zhora nadol. Verhulst navrhol nasledujúci vzťah:

kde a>0 a konštanta K>0 charakterizujú potravinové zdroje a nazývajú sa kapacitou prostredia. Ako ovplyvňuje zmena K rýchlosť rastu populácie? Ak sa K zvyšuje, Ni/K klesá. To zase vedie k tomu, že 1-Ni/K rastie, čo znamená, že rastie. To znamená, že tempo rastu sa zvyšuje a populácia rastie rýchlejšie. Upravme teda predchádzajúci model (1) za predpokladu, že rýchlosť rastu sa mení ako v rovnici (3). Potom dostaneme rovnicu

Táto rovnica môže byť napísaná ako rekurzívna rovnica

kde xi = Ni / K a xi + 1 = Ni + 1 / K označujú škálované populácie v čase i a v čase i + 1. Rovnica (5) sa nazýva logistická rovnica.

Môže sa zdať, že s takouto malou úpravou je náš model ľahko analyzovateľný. Poďme si to overiť. Uvažujme rovnicu (5) pre parameter a = 0.5 vychádzajúc z počiatočnej populácie x0 = 0.45. Sekvenčné hodnoty populácie možno získať pomocou rekurzívnej rovnice (5):

x₁= sekera₀(1-x₀)

x₂= sekera₁(1-x₁)

x₃= sekera₂(1-x₂)

Na uľahčenie výpočtov v (6) môžeme použiť nasledujúci program (je napísaný v Pythone a dá sa spustiť okrem iného aj na platforme Sage. Odporúčame prečítať si knihu http://icse.us.edu .pl/e-book . ), napodobňujúce náš model:

a = 0.5 x = 0.45 pre i v rozsahu (10):      x \u1d a * x * (XNUMX-x)      vytlačiť x

Vypočítame postupné hodnoty xi a všimneme si, že majú tendenciu k nule. Experimentovaním s vyššie uvedeným kódom je tiež ľahké zistiť, že to platí bez ohľadu na počiatočnú hodnotu x0. To znamená, že populácia neustále umiera.

V druhej fáze analýzy zvýšime hodnotu parametra a na ľubovoľnú hodnotu v rozsahu ae (1,3). Ukazuje sa, že potom postupnosť xi ide do určitého množstva x * > 0. Ak to interpretujeme z hľadiska ekológie, môžeme povedať, že veľkosť populácie je pevne stanovená na určitej úrovni, ktorá sa nemení zo sezóny na sezónu. . Stojí za zmienku, že hodnota x * nezávisí od počiatočného stavu x0. Ide o efekt snahy ekosystému o stabilizáciu – populácia prispôsobuje svoju veľkosť schopnostiam sa uživiť. Matematicky sa hovorí, že sústava inklinuje k stabilnému pevnému bodu, t.j. splnenie rovnosti x = f(x) (to znamená, že v nasledujúcom momente je stav rovnaký ako v predchádzajúcom). Pomocou Sage môžeme tento vývoj graficky znázorniť vykreslením populácie v priebehu času.

Takýto stabilizačný efekt vedci očakávali a logistická rovnica (5) by nevzbudila veľkú pozornosť, keby nebolo prekvapenia. Ukázalo sa, že pre určité hodnoty parametra sa model (5) správa nepredvídateľne. Po prvé, existujú periodické a multiperiodické stavy. Po druhé, s každým časovým krokom sa populácia mení nerovnomerne, ako náhodný pohyb. Po tretie, existuje veľká citlivosť na počiatočné podmienky: dva takmer nerozoznateľné počiatočné stavy vedú k úplne odlišnému vývoju populácie. Všetky tieto vlastnosti sú charakteristické pre správanie, ktoré pripomína úplne náhodný pohyb a nazýva sa deterministický chaos.

Poďme preskúmať túto nehnuteľnosť!

Najprv si nastavme hodnotu parametra a = 3.2 a pozrime sa na vývoj. Môže sa zdať prekvapujúce, že tentoraz počet obyvateľov nedosahuje jednu hodnotu, ale hneď dve, ktoré sa vyskytujú za sebou každú druhú sezónu. Ukázalo sa však, že tým sa problémy nekončia. Pri a = 4 už systém nie je predvídateľný. Pozrime sa na obrázok (2) alebo si postupnosť čísel vygenerujeme sami pomocou počítača. Výsledky sa zdajú byť čisto náhodné a celkom odlišné pre mierne odlišné počiatočné populácie. Pozorný čitateľ však musí namietať. Ako sa môže systém opísaný deterministickou rovnicou1, hoci aj veľmi jednoduchou, správať nepredvídateľne? No, možno.

Charakteristickým rysom tohto systému je jeho pozoruhodná citlivosť na počiatočné podmienky. Stačí začať s dvoma počiatočnými podmienkami, ktoré sa líšia o jednu milióntinu a v niekoľkých krokoch dostaneme úplne iné hodnoty populácie. Skontrolujeme na počítači:

a = 4.0

x = 0.123 y = 0.123 + 0.000001 PCC = [] pre i v rozsahu (25): x = a*x*(1-x) u = a * u * (1-u) tlačiť x, y

Tu je jednoduchý model deterministickej evolúcie. Ale tento determinizmus je klamlivý, je to len matematický determinizmus. Z praktického hľadiska sa systém správa nepredvídateľne, pretože počiatočné podmienky nikdy nedokážeme nastaviť matematicky presne. V skutočnosti je všetko určené s určitou presnosťou: každý merací prístroj má určitú presnosť a to môže spôsobiť praktickú nepredvídateľnosť v deterministických systémoch, ktoré majú vlastnosť chaosu. Príkladom sú modely predpovede počasia, ktoré vždy vykazujú vlastnosť chaosu. To je dôvod, prečo sú dlhodobé predpovede počasia také zlé.

Analýza chaotických systémov je mimoriadne náročná. Mnohé zo záhad chaosu však dokážeme vyriešiť celkom jednoducho pomocou počítačových simulácií. Nakreslíme takzvaný bifurkačný diagram, na ktorý umiestnime hodnoty parametra a pozdĺž osi x a stabilné pevné body logistického mapovania pozdĺž osi y. Stabilné body získame simuláciou veľkého počtu systémov súčasne a vykreslením hodnôt po mnohých vzorkách. Ako asi tušíte, vyžaduje si to veľa výpočtov. Skúsme „úhľadne“ spracovať nasledujúce hodnoty:

import numpy ako np Nx = 300 To = 500 x = np.linspace(0,1, nx) х = х + np.nuly ((Na, Nx)) h = np.transponovať (h) a=np.linspace(1,4,Na) a=a+np.nuly((Nx,Na)) pre i v rozsahu (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] pre a_,x_ in zip(a.flatten(),x.flatten())] bod (bod, veľkosť = 1, veľkosť obrázku = (7,5))

Mali by sme dostať niečo podobné ako na obrázku (3). Ako interpretovať túto kresbu? Napríklad pri hodnote parametra a = 3.3 máme 2 stabilné pevné body (veľkosť populácie je každú druhú sezónu rovnaká). Avšak pre parameter a = 3.5 máme 4 konštantné body (každú štvrtú sezónu má populácia rovnaký počet) a pre parameter a = 3.56 máme 8 konštantných bodov (každú ôsmu sezónu má populácia rovnaký počet). Ale pre parameter a≈3.57 máme nekonečne veľa pevných bodov (veľkosť populácie sa nikdy neopakuje a mení sa nepredvídateľným spôsobom). Pomocou počítačového programu však môžeme zmeniť rozsah parametra a a vlastnými rukami preskúmať nekonečnú geometrickú štruktúru tohto diagramu.

Toto je len špička ľadovca. O tejto rovnici boli napísané tisíce vedeckých prác, no stále skrýva svoje tajomstvá. Pomocou počítačovej simulácie sa môžete bez toho, aby ste sa uchýlili k vyššej matematike, hrať na priekopníka sveta nelineárnej dynamiky. Pozývame vás, aby ste si prečítali online verziu obsahujúcu podrobnosti o mnohých zaujímavých vlastnostiach logistickej rovnice a zaujímavé spôsoby ich vizualizácie.

¹ Deterministický zákon je zákon, v ktorom je budúcnosť jednoznačne určená počiatočným stavom. Antonymum je pravdepodobnostný zákon. ² V matematike „diskrétne“ znamená získanie hodnôt z určitej počítateľnej množiny. Opak je „nepretržitý“.