Prečo nedelíme nulou?

Čitatelia sa môžu čudovať, prečo venujem celý článok takejto banálnej téme? Dôvodom je ohromujúci počet študentov (!) náhodne vykonávajúcich operáciu pod menom. A nielen študenti. Občas chytám aj učiteľov. Čo budú žiaci takýchto učiteľov vedieť v matematike? Bezprostredným dôvodom na napísanie tohto textu bol rozhovor s učiteľom, pre ktorého delenie nulou nerobilo problém ...

S nulou áno, až na trápenie sa s ničím, pretože to v bežnom živote naozaj nepotrebujeme používať. Nechodíme nakupovať za nula vajec. „V miestnosti je jedna osoba“ znie akosi prirodzene a „nula ľudí“ znie umelo. Lingvisti tvrdia, že nula je mimo jazykového systému.

Bez nuly sa zaobídeme aj na bankových účtoch: stačí použiť - ako na teplomere - červenú a modrú pre kladné a záporné hodnoty (všimnite si, že pre teplotu je prirodzené použiť červenú pre kladné čísla a pre bankové účty áno je to naopak, pretože debet by mal spustiť varovanie, preto sa dôrazne odporúča červená).

Zaradením nuly ako prirodzeného čísla sa dotýkame problému diferenciácie Kardinálne čísla od domácnosť. V rámci 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

mocnina čísla je rovnaká ako číslo miesta, kde stojí. Inak je to už v poradí 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

Na druhom mieste je počet singletonových sád, na treťom počet sád s dvoma prvkami atď. Musíme vysvetliť, prečo napríklad miesta športovcov na súťažiach nečíslujeme od nuly. Potom by víťaz na prvom mieste dostal striebornú medailu (zlato získal nultý víťaz) atď. Trochu podobný postup sa používal vo futbale – neviem, či čitatelia vedia, že „prvá liga“ znamená „ nasledovať najlepších." “ a nultá liga sa nazýva „hlavná liga“.

Občas počujeme argument, že treba začať od nuly, lebo ITčkárom to vyhovuje. Pokračujúc v týchto úvahách, definícia kilometra by sa mala zmeniť - mala by byť 1024 m, pretože to je počet bajtov v kilobajte (odvolám sa na vtip známy informatikom: „Aký je rozdiel medzi prvákom a študent informatiky a študent piateho ročníka tejto fakulty? že kilobajt je 1000 kilobajtov, posledný - že kilometer je 1024 metrov")!

Ďalší uhol pohľadu, ktorý už treba brať vážne, je tento: meriame vždy od začiatku! Stačí sa pozrieť na akúkoľvek stupnicu na pravítku, na domácej váhe, dokonca aj na hodinách. Keďže meriame od nuly a počítanie môžeme chápať ako meranie s bezrozmernou jednotkou, tak by sme mali počítať od nuly.

Je to jednoduchá záležitosť, ale...

Nechajme všeobecnú úvahu a vráťme sa k deleniu nulou. Vec je jednoduchá a bola by jednoduchá, keby nebolo ... no a čo? Zamyslime sa a vyskúšajme. Koľko to môže byť – jedna delená nulou? Pozrime sa: 1/0 = x. Vynásobte obe strany menovateľom ľavej strany.

Dostaneme 1=0. Niečo je zle! Čo sa stalo? Hádajte! Predpoklad, že existuje podiel jednoty a nuly, vedie k rozporu. A ak sa jedno nedá deliť nulou, tak iné číslo áno. Ak, Čitateľ, krčíte plecami a čudujete sa, prečo autor (teda ja) píše o takýchto frázach, tak ... som veľmi rád!

Vzorec 0/0 = 0 by sa dal tvrdohlavo obhájiť, ale odporuje pravidlu, že výsledok delenia čísla sám osebe sa rovná jednej. Absolútne, ale celkom iné sú v kalkule symboly ako 0/0, °/° a podobne. Neznamenajú žiadne číslo, ale sú to symbolické označenia jednotlivých sekvencií určitého typu.

V elektrotechnickej knihe som našiel zaujímavé porovnanie: delenie nulou je rovnako nebezpečné ako elektrina s vysokým napätím. To je normálne: Ohmov zákon hovorí, že pomer napätia k odporu sa rovná prúdu: V = U / R. Ak by bol odpor nulový, vodičom by pretekal teoreticky nekonečný prúd, ktorý by spálil všetky možné vodiče.

Raz som básnil o nebezpečenstve delenia nulou pre každý deň v týždni. Pamätám si, že najdramatickejší deň bol štvrtok, no škoda celej mojej práce v tejto oblasti.

Keď niečo vydelíte nulou

Pondelok veľmi skoro

Týždeň, čo sa práve stalo

Už si na plnej čiare zlyhal.

Keď utorok poobede

Do menovateľa dáte nulu

Potom ti poviem, že sa mýliš

Zlý matematik!

Keď cez nulu, cez zvrátenosť,

Chcem sa rozísť v stredu

Dostanete sa do mnohých problémov

Máš v hlave seno a vodu!

Bol s nami istý Bartek.

Bol v rozpore s pravidlami.

Vo štvrtok je deliteľné nulou.

Už nie je medzi nami!

Ak sa ťa zmocní zvláštna túžba

V piatok vydeľte nulou

Budem úprimný, budem úprimný:

Zlý začiatok tohto víkendu.

Keď je nula, tak niekde v sobotu

Rozdeľovač bude váš (nie je tučný)

Kľaknite si pod plot kostola.

Toto je tvoje vzkriesenie.

Chcete nulu pod pomlčkou,

Urobte si sviatok v nedeľu

Prineste kriedu, čiernu tabuľu.

Napíšte: nie je deliteľné nulou!

Nula je spojená s prázdnotou a ničotou. Vskutku, k matematike prišiel ako veličina, ktorá keď sa pridá k akejkoľvek, nezmení ju: x + 0 = x. Teraz sa však nula objavuje v niekoľkých ďalších hodnotách, najmä ako mierkový štart. Ak za oknom nie je ani kladná teplota, ani mráz, potom ... je to nula, čo neznamená, že tam nie je žiadna teplota. Pamätník nultej triedy nie je ten, ktorý je už dávno zbúraný a jednoducho neexistuje. Naopak, je to niečo ako Wawel, Eiffelova veža a Socha slobody.

No, dôležitosť nuly v pozičnom systéme možno len ťažko preceňovať. Viete, čitateľ, koľko núl má Bill Gates na svojom bankovom účte? Neviem, ale ja by som chcel polovicu. Napoleon Bonaparte si zrejme všimol, že ľudia sú ako nuly: význam získavajú prostredníctvom postavenia. Vo filme Andrzeja Wajdu As the Years, As the Days Go by vášnivý umelec Jerzy vybuchol: "Filištín je nula, nihil, nič, nič, nihil, nula." Ale nula môže byť dobrá: „nulová odchýlka od normy“ znamená, že všetko ide dobre a len tak ďalej!

Vráťme sa k matematike. Nulu je možné beztrestne sčítať, odčítať a násobiť. "Pribrala som nula kilogramov," hovorí Manya Anye. "A to je zaujímavé, pretože som stratila rovnakú váhu," odpovedá Anya. Jedzme teda šesťkrát šesť nulových porcií zmrzliny, neublíži nám to.

Nemôžeme deliť nulou, ale môžeme deliť nulou. Tanier nulových knedlíkov možno ľahko rozdať tým, ktorí čakajú na jedlo. Koľko dostane každý?

Nula nie je kladná ani záporná. Toto a číslo nepozitívneи nezáporné. Vyhovuje nerovnostiam x≥0 a x≤0. Rozpor „niečo pozitívne“ nie je „niečo negatívne“, ale „niečo negatívne alebo rovné nule“. Matematici, v rozpore s pravidlami jazyka, vždy povedia, že niečo sa „rovná nule“ a nie „nule“. Na ospravedlnenie tejto praxe máme: ak čítame vzorec x = 0 "x je nula", potom x = 1 čítame "x sa rovná jednej", čo by sa dalo prehltnúť, ale čo "x = 1534267"? Znaku 0 tiež nemôžete priradiť číselnú hodnotu⁰ani zvýšiť nulu na zápornú mocninu. Na druhej strane môžete nulu ľubovoľne odmocniť... a výsledok bude vždy nula. 

Exponenciálna funkcia y = a^x, kladný základ a, sa nikdy nestane nulou. Z toho vyplýva, že neexistuje nulový logaritmus. Logaritmus od a k základu b je skutočne exponent, na ktorý sa musí základ zvýšiť, aby sa získal logaritmus a. Pre a = 0 takýto indikátor neexistuje a nula nemôže byť základom logaritmu. Nula v „menovateľovi“ Newtonovho symbolu je však niečo iné. Predpokladáme, že tieto konvencie nevedú k rozporu.

falošné dôkazy

Delenie nulou je častým predmetom falošných dôkazov a stáva sa to aj skúseným matematikom. Dovoľte mi uviesť dva moje obľúbené príklady. Prvá je algebraická. "Dokážem", že všetky čísla sú rovnaké. Predpokladajme, že existujú dve čísla, ktoré nie sú rovnaké. Preto je jeden z nich väčší ako druhý, nech a > b. Predpokladajme, že c je ich rozdiel

c \uXNUMXd a - b. Takže máme a - b = c, odkiaľ a = b + c.

Obe tieto časti vynásobíme a - b:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

Prekladám ak na ľavú stranu, samozrejme si pamätám na zmenu znamienka:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Vylučujem bežné faktory:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Zdieľam a mám čo som chcel:

a = b.

A vlastne ešte zvláštnejšie, pretože som predpokladal, že a > b, a vyšlo mi, že a = b. Ak je v príklade vyššie „podvádzanie“ ľahko rozpoznateľné, potom v geometrickom dôkaze nižšie to také ľahké nie je. Dokážu, že ... lichobežník neexistuje. Útvar bežne nazývaný lichobežník neexistuje.

Ale najprv predpokladajme, že existuje niečo ako lichobežník (ABCD na obrázku nižšie). Má dve rovnobežné strany („základne“). Natiahneme tieto základne, ako je znázornené na obrázku, aby sme dostali rovnobežník. Jeho uhlopriečky rozdeľujú druhú uhlopriečku lichobežníka na segmenty, ktorých dĺžky sú označené x, y, z, ako na obrázok 1. Z podobnosti zodpovedajúcich trojuholníkov získame proporcie:

kde definujeme:

Oraz

kde definujeme:

Odčítajte strany rovnosti označené hviezdičkami:

 Skrátením oboch strán o x − z dostaneme – a/b = 1, čo znamená, že a + b = 0. Čísla a, b sú však dĺžky podstav lichobežníka. Ak je ich súčet nula, potom sú tiež nulové. To znamená, že postava ako lichobežník nemôže existovať! A keďže obdĺžniky, kosoštvorce a štvorce sú tiež lichobežníky, potom, drahý čitateľ, neexistujú ani kosoštvorce, obdĺžniky a štvorce ...

Hádaj Hádaj

Zdieľanie informácií je najzaujímavejšia a najnáročnejšia zo štyroch základných činností. Tu sa po prvý raz stretávame s javom, ktorý je v dospelosti taký bežný: „uhádni odpoveď a potom si over, či si uhádol správne“. Veľmi výstižne to vyjadril Daniel K. Dennett („Ako robiť chyby?“, v How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Varšava, 1997):

Tento spôsob „hádania“ nezasahuje do nášho dospelého života – možno preto, že sa ho učíme skoro a hádanie nie je ťažké. Ideologicky sa rovnaký jav vyskytuje napríklad pri matematickej (úplnej) indukcii. Na tom istom mieste „uhádneme“ vzorec a potom skontrolujeme, či je náš odhad správny. Študenti sa vždy pýtajú: „Ako sme poznali vzor? Ako sa to dá vytiahnuť?" Keď sa ma študenti opýtajú túto otázku, zmením ich otázku na vtip: „Viem to, pretože som profesionál, pretože som platený za to, aby som to vedel.“ Žiakom v škole sa dá odpovedať rovnakým štýlom, len vážnejšie.

cvičenie. Všimnite si, že sčítanie a písané násobenie začíname najnižšou jednotkou a delenie najvyššou jednotkou.

Kombinácia dvoch nápadov

Učitelia matematiky vždy poukazovali na to, že to, čo nazývame separácia dospelých, je spojenie dvoch koncepčne odlišných myšlienok: bývanie i oddelenie.

Prvý (bývanie) sa vyskytuje v úlohách, ktorých archetyp je:

Rozdeľ-rozdeľ Sú to úlohy ako:

? (Zachovávame pôvodný štýl tohto problému, prevzatý z príručky Juliana Zgozalewicza vydanej v Krakove v roku 1892 – zlotý je rýnsky zlotý, mena, ktorá bola v obehu v Rakúsko-Uhorsku až do začiatku XNUMX storočia).

Teraz zvážte dva problémy s najstaršia učebnica matematiky v poľštine, otec Tomasz Clos (1538). Je to divízia alebo kupé? Vyriešte to tak, ako by mali školáci v XNUMX storočí:

(Preklad z poľštiny do poľštiny: V sude je liter a štyri hrnce. Hrniec je štyri litre. Niekto kúpil 20 sudov vína za 50 zł na obchod. Clo a daň (spotrebná daň?) bude 8 zł. Koľko predať liter, aby si zarobil 8 zł?)

Šport, fyzika, kongruencia

Niekedy v športe musíte niečo vydeliť nulou (pomer gólov). No rozhodcovia sa s tým nejako vysporiadajú. V abstraktnej algebre sú však na dennom poriadku. nenulové množstváktorého štvorec je nula. Dá sa to dokonca jednoducho vysvetliť.

Uvažujme funkciu F, ktorá spája bod (y, 0) s bodom v rovine (x, y). Čo je F², teda dvojité prevedenie F? Nulová funkcia - každý bod má obrázok (0,0).

Napokon, nenulové veličiny, ktorých druhá mocnina je 0, sú pre fyzikov takmer každodenným chlebom a čísla v tvare a + bε, kde ε ≠ 0, ale ε² = 0, volajú matematici dvojité čísla. Vyskytujú sa v matematickej analýze a v diferenciálnej geometrii.

Koniec koncov, v aritmetike existuje niečo, čo má delenie nulou aspoň v názve. Pochádza z zhoda. Nech Z označuje množinu celých čísel. Rozdelenie množiny Z pomocou p znamená, že každé číslo (celé číslo) prirovnáme k niektorým iným, konkrétne k tým, ktorými je ich rozdiel deliteľný. Takže, keď máme päť typov čísel zodpovedajúcich číslam 0, 1, 2, 3, 4 - možné zvyšky pri delení 5. Vzorec je napísaný takto:

mod, keď je rozdiel niekoľkonásobný.

Pre = 2 máme len dve čísla: 0 a 1. Rozdelenie celých čísel do dvoch takýchto tried je ekvivalentné ich rozdeleniu na párne a nepárne. Poďme to teraz nahradiť. Rozdiel je vždy deliteľný 1 (akékoľvek celé číslo je deliteľné 1). Je možné vziať =0? Skúsme: kedy je rozdiel dvoch čísel násobkom nuly? Iba ak sú tieto dve čísla rovnaké. Delenie množiny celých čísel nulou teda dáva zmysel, no nie je zaujímavé: nič sa nedeje. Treba však zdôrazniť, že nejde o delenie čísel v zmysle známom zo základnej školy.

Takéto akcie sú jednoducho zakázané, rovnako ako dlhá a široká matematika.

Ryža. 2. Identifikácia čísel pomocou porovnávania

(režim 5 a režim 2)