Na nový školský rok

Väčšina čitateľov bola niekde na dovolenke – či už v našej krásnej krajine, v susedných krajinách, alebo možno aj v zámorí. Využime to, kým sú pre nás hranice otvorené... Čo bolo najčastejším znamením na našich krátkych a dlhých cestách? Toto je šípka smerujúca k výjazdu z diaľnice, pokračovaniu horskej cesty, vchodu do múzea, vchodu na pláž atď. Čo je na tom všetkom také zaujímavé? Matematicky až tak nie. Ale zamyslime sa: toto znamenie je zrejmé všetkým ... predstaviteľom civilizácie, v ktorej sa kedysi strieľalo z luku. Je pravda, že sa to nedá dokázať. Nepoznáme žiadnu inú civilizáciu. Avšak pravidelný päťuholník a jeho hviezdicová verzia, pentagram, sú matematicky zaujímavejšie.

Nepotrebujeme žiadne vzdelanie, aby sme tieto čísla považovali za zaujímavé a zaujímavé. Ak, čitateľ, pili ste päťhviezdičkový koňak v päťhviezdičkovom hoteli na Place des Stars v Paríži, potom ste možno... narodili ste sa pod šťastnou hviezdou. Keď nás niekto požiada, aby sme nakreslili hviezdu, bez váhania nakreslíme päťcípu, a keď je účastník prekvapený: „Toto je symbol bývalého ZSSR!“, môžeme odpovedať: Stajne!“.

Pentagram alebo päťcípa hviezda, pravidelný päťuholník, ovláda celé ľudstvo. Najmenej štvrtina krajín vrátane USA a bývalého ZSSR ho zaradila do svojich emblémov. Ako deti sme sa naučili kresliť päťcípu hviezdu bez toho, aby sme zdvihli ceruzku zo stránky. V dospelosti sa stáva našou vodiacou hviezdou, nemennou, vzdialenou, symbolom nádeje a osudu, orákulom. Pozrime sa na to zboku.

Čo nám hovoria hviezdy?

Historici sa zhodujú, že až do XNUMX. storočia pred Kristom zostávalo intelektuálne dedičstvo národov Európy v tieni kultúr Babylonu, Egypta a Fenície. A zrazu šieste storočie prináša renesanciu a taký prudký rozvoj kultúry a vedy, že niektorí novinári (napríklad Daniken) tvrdia – ťažko povedať, či tomu sami veria – že bez zásahu by to nebolo možné. väzňov. z vesmíru.

Pokiaľ ide o Grécko, prípad má racionálne vysvetlenie: v dôsledku sťahovania národov sa obyvatelia Peloponézskeho polostrova dozvedia viac o kultúre susedných krajín (napríklad fénické písmená prenikajú do Grécka a zlepšujú abecedu ), a oni sami začnú kolonizovať stredomorskú panvu. Sú to vždy veľmi priaznivé podmienky pre rozvoj vedy: nezávislosť spojená s kontaktmi so svetom. Bez nezávislosti sa odsúdime na osud banánových republík Strednej Ameriky, bez kontaktov na Severnú Kóreu.

Na číslach záleží

XNUMX. storočie pred Kristom bolo zvláštnym storočím v dejinách ľudstva. Traja veľkí myslitelia bez toho, aby o sebe vedeli alebo možno nepočuli, učili: Budha, Konfucius i Pytagoras. Prví dvaja vytvorili náboženstvá a filozofie, ktoré sú stále živé. Je úloha tretieho z nich obmedzená na objavenie tej či onej vlastnosti konkrétneho trojuholníka?

Na prelome 624. a 546. storočia (asi XNUMX - asi XNUMX pred Kr.) v Miléte v novodobej Malej Ázii žil taký. Niektoré zdroje uvádzajú, že bol vedcom, iné bohatým obchodníkom a ďalšie ho nazývajú podnikateľom (zrejme za jeden rok kúpil všetky lisy na olej a potom si ich požičal za úžernícku výplatu). Niektorí v ňom podľa súčasnej módy a modelu vedy zase vidia patróna: očividne pozval múdrych, nakŕmil ich a ošetril a potom povedal: „No, pracujte na slávu ja a celá veda." Mnohé seriózne zdroje sa však prikláňajú k tvrdeniu, že Thales, mäso a krv, vôbec neexistoval a jeho meno slúžilo len ako zosobnenie konkrétnych myšlienok. Ako bolo, tak bolo a už sa to asi nikdy nedozvieme. Historik matematiky E. D. Smith napísal, že keby nebolo Thalesa, nebolo by ani Pytagora a nikoho ako Pytagora a bez Pytagora by nebolo ani Platóna, ani nikoho ako Platóna. Skôr. Nechajme však bokom, čo by sa stalo, keby.

Pytagoras (asi 572 – asi 497 pred Kristom) učil v Crotone v južnom Taliansku a práve tam sa zrodilo intelektuálne hnutie pomenované po majstrovi: Pytagorizmus. Išlo o eticko-náboženské hnutie a združenie založené, ako by sme to dnes nazvali, na tajomstvách a tajných učeniach, považujúce štúdium vedy za jeden z prostriedkov očisty duše. Počas života jednej alebo dvoch generácií prešiel pytagorizmus obvyklými štádiami vývoja myšlienok: počiatočný rast a expanzia, kríza a úpadok. Skutočne skvelé nápady tam nekončia svoj život a nikdy nezomrú navždy. Intelektuálne učenie Pytagora (sám vymyslel termín, ktorý si nazval: filozof alebo priateľ múdrosti) a jeho učeníkov ovládlo celú antiku, potom sa vrátilo do renesancie (pod názvom panteizmus) a my sme vlastne pod jeho vplyvom. dnes. Princípy pythagorejstva sú v kultúre (aspoň v Európe) tak zakorenené, že si len ťažko uvedomujeme, že by sme mohli uvažovať inak. Sme prekvapení nie menej ako Molièrov Monsieur Jourdain, ktorý bol prekvapený, keď sa dozvedel, že celý život hovoril v próze.

Hlavnou myšlienkou pythagorejstva bolo presvedčenie, že svet je organizovaný podľa prísneho plánu a harmónie a že povolaním človeka je túto harmóniu poznať. A práve úvaha o harmónii sveta tvorí učenie pytagorejstva. Pythagorejci boli určite mystici aj matematici, hoci len dnes je ľahké ich tak nenútene zaradiť. Vydláždili cestu. Začali študovať harmóniu sveta, najprv študovali hudbu, astronómiu, aritmetiku atď.

Hoci ľudstvo podľahlo mágii „navždy“, až pytagorejská škola ju povýšila na všeobecne platný zákon. "Čísla vládnu svetu" – tento slogan bol najlepšou charakteristikou školy. Čísla mali dušu. Každý niečo znamenal, každý niečo symbolizoval, každý odrážal časticu tejto harmónie Vesmíru, t.j. priestor. Samotné slovo znamená „objednávka, objednávka“ (čitatelia vedia, že kozmetika vyhladzuje tvár a zvyšuje krásu).

Rôzne zdroje uvádzajú rôzne významy, ktoré pytagorejci dávali každému číslu. Tak či onak, rovnaké číslo by mohlo symbolizovať niekoľko pojmov. Najdôležitejšie boli šesť (dokonalý počet) i desať - súčet po sebe idúcich čísel 1 + 2 + 3 + 4 tvorený ďalšími číslami, ktorých symbolika sa zachovala dodnes.

Takže Pytagoras učil, že čísla sú počiatkom a zdrojom všetkého, že – ak si to predstavíte – sa navzájom „miešajú“ a my vidíme len výsledky toho, čo robia. Mysticizmus čísiel, ktorý vytvoril, či skôr rozvinul Pytagoras, nemá dnes „dobrú stopu“ a aj seriózni autori v ňom vidia zmes „pátosu a absurdity“ alebo „vedy, mystiky a čistej nadsázky“. Je ťažké pochopiť, ako mohol slávny historik Alexander Kravčuk napísať, že Pytagoras a jeho žiaci naplnili filozofiu víziami, mýtmi, poverami – akoby ničomu nerozumel. Pretože takto to vyzerá len z pohľadu nášho XNUMX storočia. Pytagoriáni nič nenapínali, svoje teórie tvorili v dokonalom svedomí. Možno o pár storočí niekto napíše, že aj celá teória relativity bola absurdná, domýšľavá a vynútená. A číselná symbolika, ktorá nás od Pytagoras delila na štvrť milióna rokov, hlboko prenikla do kultúry a stala sa jej súčasťou, podobne ako grécke a nemecké báje, stredoveké rytierske eposy, ruské ľudové rozprávky o Kostovi či vízia Júliusa Slováka. slovanský pápež.

Záhadná iracionalita

V geometrii boli Pythagorejci ohromení figurami-podobnými. A práve pri analýze Thalesovej vety, základného zákona pravidiel podobnosti, došlo ku katastrofe. Boli objavené neporovnateľné úseky, a teda iracionálne čísla. Epizódy, ktoré nemožno merať žiadnym všeobecným meradlom. Čísla, ktoré nie sú proporcie. A našiel sa v jednej z najjednoduchších foriem: štvorec.

Dnes v školskej vede túto skutočnosť obchádzame, takmer si ju nevšimneme. Uhlopriečka štvorca je √2? Super, koľko to môže byť? Na kalkulačke stlačíme dve tlačidlá: 1,4142 ... No, už vieme, aká je druhá odmocnina z dvoch. ktoré? Je to iracionálne? Možno preto, že používame také zvláštne znamenie, ale predsa v skutočnosti je to 1,4142. Veď kalkulačka neklame.

Ak si čitateľ myslí, že preháňam, tak ... veľmi dobre. Poľské školy zrejme nie sú také zlé ako napríklad v britských, kde je všetko nemerateľnosť niekde medzi rozprávkami.

V poľštine slovo „iracionálny“ nie je také desivé ako jeho náprotivok v iných európskych jazykoch. Racionálne čísla existujú racionálne, racionálne, racionálne, t.j.

Zvážte úvahu, že √2 je to iracionálne číslo, to znamená, že nejde o žiadny zlomok p/q, kde p a q sú celé čísla. V moderných podmienkach to vyzerá takto... Predpokladajme, že √2 = p / q a že tento zlomok sa už nedá skrátiť. Najmä p aj q sú nepárne. Umocnime: 2q²=p². Číslo p nemôže byť nepárne, odvtedy p² by tiež bolo a ľavá strana rovnosti je násobkom 2. Preto p je párne, t.j. p = 2r, teda p²= 4r². Znížime rovnicu 2q²= 4r². dostaneme d²= 2r² a vidíme, že q musí byť tiež párne, čo sme predpokladali, že to tak nie je. Prijaté rozpor dôkaz končí – tento vzorec občas nájdete v každej matematickej knihe. Tento nepriamy dôkaz je obľúbeným trikom sofistov.

Zdôrazňujem však, že ide o modernú úvahu – pytagorejci nemali taký vyvinutý algebraický aparát. Hľadali spoločnú mieru strany štvorca a jeho uhlopriečky, čo ich priviedlo k myšlienke, že taká spoločná miera nemôže existovať. Predpoklad jeho existencie vedie k rozporu. Tvrdá zem sa mi vyšmykla spod nôh. Všetko by sa malo dať opísať číslami a uhlopriečka štvorca, ktorú si každý môže nakresliť palicou na piesok, nemá dĺžku (teda je merateľná, lebo iné čísla neexistujú). „Naša viera bola márna,“ povedali by Pythagorejci. Čo robiť?

Uskutočnili sa pokusy zachrániť sa sektárskymi metódami. Každý, kto sa odváži odhaliť existenciu iracionálnych čísel, bude usmrtený a zrejme aj sám majster – v rozpore s prikázaním miernosti – vykoná prvú vetu. Potom sa všetko stane závesom. Podľa jednej verzie boli Pythagorejci zabití (trochu zachránení a vďaka nim sa celý nápad nedostal do hrobu), podľa inej samotní učeníci, tak poslušní, vyhnajú zbožňovaného majstra a ten niekde končí svoj život vo vyhnanstve. . Sekta prestáva existovať.

Všetci poznáme výrok Winstona Churchilla: "Nikdy v histórii ľudských konfliktov toľko ľudí dlžilo tak málo tak málo." Išlo o pilotov, ktorí v roku 1940 bránili Anglicko pred nemeckými lietadlami. Ak nahradíme „ľudské konflikty“ „ľudskými myšlienkami“, potom toto príslovie platí pre hŕstku Pytagorejcov, ktorí unikli (tak málo) z pogromu na konci XNUMX. XNUMX. storočie pred Kristom.

Takže „myšlienka prešla bez ujmy“. Čo bude ďalej? Prichádza zlatý vek. Gréci porazili Peržanov (Maratón – 490 pred Kr., Platba – 479). Demokracia je stále silnejšia. Vznikajú nové centrá filozofického myslenia a nové školy. Stúpenci pythagorejstva čelia problému iracionálnych čísel. Niektorí hovoria: „Nepochopíme toto tajomstvo; môžeme o tom len uvažovať a obdivovať Uncharted.“ Tí druhí sú pragmatickejší a nerešpektujú Záhadu: „Ak s týmito číslami niečo nie je v poriadku, nechajme ich tak, po nejakých 2500 rokoch bude všetko známe. Možno čísla nevládnu svetom? Začnime s geometriou. Už nie sú dôležité čísla, ale ich proporcie a pomery.

Priaznivci prvého smeru sú historikom matematiky známi ako akustikaŽili ešte pár storočí a to je všetko. Tí druhí sa ozvali matematika (z gréckeho mathein = vedieť, učiť sa). Nemusíme nikomu vysvetľovať, že tento prístup zvíťazil: žije dvadsaťpäť storočí a má úspech.

Víťazstvo matematikov nad auzmatikou sa prejavilo najmä objavením sa nového symbolu Pytagorejcov: odteraz ním bol pentagram (pentás = päť, gramma = písmeno, nápis) - pravidelný päťuholník v tvare hviezda. Jeho vetvy sa pretínajú mimoriadne proporcionálne: celok sa vždy vzťahuje na väčšiu časť a väčšia časť na menšiu časť. Zavolal božský pomer, potom sekularizovaný na zlato. Starovekí Gréci (a celý eurocentrický svet za nimi) verili, že tento pomer najviac lahodí ľudskému oku a stretávali sa s ním takmer všade.

(Cyprian Camille Norvid, Prometidion)

Zakončím ešte jednou pasážou, tentokrát z básne „Faust“ (preklad Vladislav August Kostelský). No a pentagram je aj obrazom piatich zmyslov a povestnej „čarodejovej nohy“. Doktor Faust sa v Goetheho básni chcel chrániť pred diablom tým, že tento symbol nakreslil na prah svojho domu. Urobil to nenútene a stalo sa toto:

Faust

M epistopheles

Faust

A to je všetko o obyčajnom päťuholníku na začiatku nového školského roka.