Koronavírus a matematické vzdelávanie – čiastočne objednané zbierky

Vírus, ktorý nás zasiahol, poháňa rýchlu reformu vzdelávania. najmä na vyšších stupňoch vzdelávania. Na túto tému sa dá napísať aj dlhšia esej, určite sa nájde prúd doktorandských dizertačných prác o metodike dištančného vzdelávania. Z istého pohľadu ide o návrat ku koreňom a k zabudnutým návykom samoštúdia. Tak to bolo napríklad na strednej škole Kremenec (v Kremenci, dnes na Ukrajine, ktorá existovala v rokoch 1805-31, vegetovala do roku 1914 a svoj rozkvet zažila v rokoch 1922-1939). Študenti sa tam učili sami – až po naučení prišli učitelia s opravami, konečnými upresneniami, pomocou na ťažkých miestach atď. e) Keď som sa stal študentom, tiež povedali, že by sme mali sami získavať vedomosti, že iba objednávame a posielame triedy na univerzitu. Ale vtedy to bola len teória...

Na jar 2020 nie som jediný, kto zistil, že lekcie (vrátane prednášok, cvičení atď.) je možné veľmi efektívne viesť na diaľku (Google Meet, Microsoft Teams atď.), a to za cenu veľkého množstva práce zo strany učiteľa a na druhej strane len túžba „vzdelávať sa“; ale aj s istým komfortom: sedím doma, vo svojom kresle a na tradičných prednáškach študenti často robia aj niečo iné. Účinok takéhoto tréningu môže byť ešte lepší ako pri tradičnom, stredovekom, systéme triednych hodín. Čo z neho zostane, keď sa vírus dostane do pekla? Myslím... dosť veľa. Ale uvidíme.

Dnes budem hovoriť o čiastočne objednaných súpravách. Je to jednoduché. Pretože binárna relácia v neprázdnej množine X sa nazýva relácia čiastočného poriadku, ak existuje

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filozof,

predseda Poľskej akadémie vied v rokoch 1957–1962).

1. Reflexívne, t.j. pre každé ∈ existuje ",
2. Okoloidúci, t.j. ak ", a ", potom ",
3. Poloasymetrické, tj («∧«)→ =

Reťazec je množina s nasledujúcou vlastnosťou: pre ľubovoľné dva prvky je táto množina buď "alebo y". Antichain je...

Stop, stop! Dá sa niečo z toho pochopiť? Jasné že je. Ale pochopil už niekto z čitateľov (vedúci opak) o čo tu ide?

Nemyslím! A toto je kánon vyučovania matematiky. Aj v škole. Najprv slušná strohá definícia a potom, kto nezaspal od nudy, určite niečo pochopí. Túto metódu presadili „veľkí“ učitelia matematiky. Musí byť opatrný a prísny. Je pravda, že to tak nakoniec má byť. Matematika musí byť presná veda (pozri tiež: ).

Musím sa priznať, že na univerzite, kde po odchode z Varšavskej univerzity pôsobím, som toľko rokov aj učil. Len v ňom bolo povestné vedro studenej vody (nech to tak zostane: vedro bolo treba!). Zrazu sa vysoká abstrakcia stala svetlou a príjemnou. Venujte pozornosť: ľahké neznamená ľahké. Ľahký boxer to má tiež ťažké.

Usmejem sa pri spomienkach. Základy matematiky ma učil vtedajší dekan katedry, prvotriedny matematik, ktorý práve pricestoval z dlhodobého pobytu v USA, čo bolo v tom čase samo o sebe niečo výnimočné. Myslím, že bola trochu snobská, keď trochu zabudla po poľsky. Zneužila staré poľské „čo“, „preto“, „azalka“ a vymyslela termín: „poloasymetrický vzťah“. Rád to používam, je to naozaj presné. Mám rád. Ale toto od študentov nevyžadujem. Toto sa bežne označuje ako „nízka antisymetria“. Desať krásnych.

Dávno, lebo v sedemdesiatych rokoch (minulého storočia) došlo k veľkej, radostnej reforme vyučovania matematiky. To sa zhodovalo so začiatkom krátkeho obdobia vlády Eduarda Gierka – istého otvorenia sa našej krajiny svetu. „Deti možno učiť aj vyššiu matematiku,“ zvolali Veľkí učitelia. Pre deti bolo zostavené zhrnutie vysokoškolskej prednášky „Základy matematiky“. Bol to trend nielen v Poľsku, ale v celej Európe. Vyriešenie rovnice nestačilo, bolo treba vysvetliť každý detail. Aby to nebolo neopodstatnené, každý z čitateľov dokáže vyriešiť sústavu rovníc:

ale študenti museli každý krok zdôvodniť, odkázať na relevantné výroky atď. Išlo o klasický prebytok formy nad obsahom. Teraz je pre mňa ľahké kritizovať. Aj ja som bol kedysi zástancom tohto prístupu. Je to vzrušujúce... pre mladých ľudí, ktorí sú nadšení pre matematiku. To, samozrejme, bol (a pre pozornosť aj ja).

Ale dosť odbočenia, poďme na vec: prednáška, ktorá bola „teoreticky“ určená pre druhákov polytechniky a nebyť nej, bola by suchá ako kokosové lupienky. trochu preháňam...

Dobré ráno pre vás. Dnešnou témou je čiastočné čistenie. Nie, nejde o náznak neopatrného čistenia. Najlepšie porovnanie by bolo zvážiť, čo je lepšie: paradajková polievka alebo krémový koláč. Odpoveď je jasná: podľa čoho. Na dezert - sušienky a na výživné jedlo: polievka.

V matematike sa zaoberáme číslami. Sú usporiadané: sú väčšie a menšie, ale z dvoch rôznych čísel je jedno vždy menšie, čo znamená, že druhé je väčšie. Sú usporiadané v poradí ako písmená v abecede. V triednom denníku môže byť poradie nasledovné: Adamchik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (sú to priatelia a spolužiaci z mojej triedy!). Nepochybujeme ani o tom, že Matusjak „Matushelyansky“ Matushevsky „Matisyak. Symbol pre „dvojitú nerovnosť“ má význam „predtým“.

V mojom cestovateľskom klube sa snažíme, aby zoznamy boli abecedné, ale podľa mena napríklad Alina Wrońska "Warvara Kaczarska", Cesar Bouschitz atď. V úradných záznamoch by bolo poradie opačné. Matematici označujú abecedné usporiadanie ako lexikografické (lexikón je viac-menej ako slovník). Na druhej strane také poradie, v ktorom sa v mene zloženom z dvoch častí (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) najprv pozrieme na druhú časť, je pre matematikov antilexikografickým poriadkom. Dlhé názvy, ale veľmi jednoduchý obsah.

1. Lineárne poradie: stanice a zastávky na železnici Habovka-Zakopané z Podhalia, postavenej v roku 1899 (dekódovanie skratiek nechávam na čitateľa).

Všetky takéto objednávky sa nazývajú riadkové objednávky. Radíme postupne: prvý, druhý, tretí. Všetko je v poriadku, od prvého bodu po posledný. Nie vždy to dáva zmysel. Veď knihy v knižnici zoraďujeme nie takto, ale do sekcií. Len vo vnútri oddelenia zoraďujeme lineárne (zvyčajne podľa abecedy).

2. Lineárne poradie: pri štartovaní motora auta vykonávame úkony v konzistentnom poradí.

Pri väčších projektoch, najmä v tímovej práci, už nemáme lineárny poriadok. Poďme sa pozrieť na obr. 3. Chceme postaviť malý hotel. Už máme peniaze (bunka 0). Vybavujeme povolenia, zbierame materiály, rozbiehame výstavbu a zároveň robíme reklamnú kampaň, hľadáme zamestnancov a tak ďalej a tak ďalej. Keď dosiahneme „10“, môžu sa ubytovať prví hostia (príklad z príbehov pána Dombrowského a ich malého hotela na predmestí Krakova). Máme nelineárne poradie – niektoré veci sa môžu diať paralelne.

V ekonómii sa dozviete o koncepte kritickej cesty. Toto je súbor akcií, ktoré sa musia vykonávať postupne (a toto sa v matematike nazýva reťazec, o tom za chvíľu) a ktoré zaberú najviac času. Skrátenie času výstavby je reorganizáciou kritickej cesty. Ale o tom viac v iných prednáškach (pripomínam, že čítam “univerzitnú prednášku”). Zameriavame sa na matematiku.

Diagramy ako na obrázku 3 sa nazývajú Hasseove diagramy (Helmut Hasse, nemecký matematik, 1898–1979). Každé komplexné úsilie musí byť naplánované týmto spôsobom. Vidíme postupnosti akcií: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Matematici ich nazývajú struny. Celá myšlienka pozostáva zo štyroch reťazcov. Naproti tomu skupiny aktivít 1-2-3-4, 5-6-7 a 8-9 sú antireťazce. Tu je ich názov. Faktom je, že v konkrétnej skupine žiadna z akcií nezávisí od predchádzajúcej.

4. Toto je tiež Hasseov diagram.

Poďme do obrázok 4. Čo je pôsobivé? Ale mohla by to byť mapa metra v nejakom meste! Podzemné železnice sú vždy zoskupené do línií – neprechádzajú z jednej do druhej. Riadky sú samostatné riadky. V meste Obr. 4 je rúra riadok (pamätajte na to rúra píše sa "boldem" - v poľštine sa nazýva polohrubý).

Na tomto diagrame (obr. 4) je krátky žltý ABF, šesťstaničný ACFPS, zelený ADGL, modrý DGMRT a najdlhší červený. Matematik povie: tento Hasseov diagram má rúra reťaze. Je to na červenej čiare sedem stanica: AEINRUW. A čo antireťazce? Sú tam sedem. Čitateľ si už všimol, že som to slovo dvakrát podčiarkol sedem.

Antichain to je taká zostava staníc, že ​​sa z jednej na druhú bez prestupu nedá dostať. Keď trochu „porozumieme“, uvidíme tieto antireťazce: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​​​SR. Skontrolujte si, napríklad, nie je možné cestovať z niektorej zo staníc BCLTV do inej BCTLV bez prestupu, presnejšie: bez toho, aby ste sa museli vrátiť na stanicu zobrazenú nižšie. Koľko antichainov existuje? sedem. Aká veľkosť je najväčšia? Piecť (opäť tučným písmom).

Viete si predstaviť, študenti, že zhoda týchto čísel nie je náhodná. Toto. Toto objavil a dokázal (teda vždy) v roku 1950 Robert Palmer Dilworth (1914 – 1993, americký matematik). Počet radov potrebných na pokrytie celej sady sa rovná veľkosti najväčšieho antireťazca a naopak: počet antichainov sa rovná dĺžke najdlhšieho antireťazca. Tak je to vždy v čiastočne objednanej súprave, t.j. taký, ktorý sa dá vizualizovať. Hassego diagram. Toto nie je celkom striktná a správna definícia. To je to, čo matematici nazývajú "pracovná definícia". Toto sa trochu líši od „pracovnej definície“. Toto je návod, ako chápať čiastočne usporiadané množiny. Toto je dôležitá súčasť každého školenia: pozrite sa, ako to funguje.

Anglická skratka je – toto slovo znie v slovanských jazykoch krásne, trochu ako bodliak. Všimnite si, že bodliak je tiež rozvetvený.

Veľmi pekné, ale kto to potrebuje? Vy, milí študenti, ju potrebujete na zloženie skúšky a to je zrejme dostatočný dôvod na jej štúdium. Počúvam, aké otázky? Počúvam, pán spod okna. Ó, otázka znie, bude to niekedy Pánovi vo vašom živote užitočné? Možno nie, ale pre niekoho múdrejšieho ako vy určite... Možno pre analýzu kritických ciest v komplexnom ekonomickom projekte?

Tento text píšem v polovici júna, na Varšavskej univerzite prebiehajú voľby rektora. Čítal som niekoľko komentárov od používateľov internetu. Existuje prekvapujúce množstvo nenávisti (alebo „nenávisť“) voči „vzdelaným ľuďom“. Ktosi bez obalu napísal, že vysokoškolsky vzdelaní vedia menej ako vysokoškolsky vzdelaní. Samozrejme do diskusie nevstúpim. Je mi len smutno, že sa v Poľskej ľudovej republike vracia ustálený názor, že všetko sa dá robiť kladivom a dlátom. Vrátim sa k matematike.

Dillworthova veta má niekoľko zaujímavých aplikácií. Jedna z nich je známa ako manželská veta.obr. 6). 

Je tu skupina žien (skôr dievčat) a o niečo väčšia skupina mužov. Každé dievča si myslí niečo také: "Mohla by som sa vydať za tohto, za iného, ​​ale nikdy v živote za tretieho." A tak ďalej, každý má svoje vlastné preferencie. Nakreslíme schému a ku každému z nich vedie šíp od chlapíka, ktorého neodmieta ako kandidáta na oltár. Otázka: Je možné spojiť páry tak, aby si každý našiel manžela, ktorého akceptuje?

Philip Hallova veta, hovorí, že sa to dá - za určitých podmienok, ktoré tu nebudem rozoberať (potom na ďalšej prednáške, prosím, študenti). Všimnite si však, že mužská spokojnosť sa tu vôbec nespomína. Ako viete, sú to ženy, ktoré si nás vyberajú, a nie naopak, ako sa nám zdá (pripomínam, že som autor, nie autor).

Trochu vážnej matematiky. Ako vyplýva Hallova veta z Dilwortha? Je to veľmi jednoduché. Pozrime sa znova na obrázok 6. Reťaze sú tam veľmi krátke: majú dĺžku 2 (bežiace v smere). Sada malých mužíkov je protireťaz (práve preto, že šípky sú len smerom). Celú kolekciu tak môžete pokryť toľkými antireťazami, koľko je mužov. Takže každá žena bude mať šíp. A to znamená, že môže vyzerať ako chlap, ktorého akceptuje!!!

Počkať, niekto sa pýta, to je všetko? Je to všetko aplikácia? Hormóny sa nejako dohodnú a prečo matematika? Po prvé, toto nie je celá aplikácia, ale iba jedna z veľkej série. Pozrime sa na jeden z nich. Nech (obr. 6) znamená nie zástupcov lepšieho pohlavia, ale skôr prozaických kupujúcich, a to sú značky, napríklad autá, práčky, produkty na chudnutie, ponuky cestovných kancelárií a pod.. Každý kupujúci má značky, ktoré akceptuje a odmieta. Dá sa niečo urobiť, aby sa niečo predalo každému a ako? Tu končia nielen vtipy, ale aj poznatky autora článku na túto tému. Viem len, že analýza je založená na pomerne zložitej matematike.

Vyučovanie matematiky v škole je vyučovanie algoritmov. Toto je dôležitá súčasť učenia. Pomaly sa však posúvame k učeniu nie tak matematiky, ako skôr matematickej metódy. Dnešná prednáška bola práve o tomto: hovoríme o abstraktných mentálnych konštrukciách, uvažujeme o každodennom živote. Hovoríme o reťaziach a antireťazcoch v sadách s inverznými, tranzitívnymi a inými vzťahmi, ktoré používame v modeloch predajca-kupujúci. Počítač za nás urobí všetky výpočty. Zatiaľ nebude vytvárať matematické modely. Stále vyhrávame svojim myslením. Každopádne, dúfam, že čo najdlhšie!