Ako klamať, manipulovať a prezentovať sa v priaznivom svetle vo veľkosti matematiky?

Začiatkom novembra 2020 Mateusz Morawiecki odkázal matematikom z Centra pre matematické modelovanie, že preukázali, že štrajk žien spôsobil nárast infekcií o 5000 XNUMX. V tomto centre mám priateľov – dozvedeli sa len, že to predpovedali príhovor pána - Mateuszovi.

Chcel by som zdôrazniť, že možno v rozpore s názvom článku nebudem súčasného premiéra ani chváliť, ani kritizovať. Myslím si, že matematika nie je jeho silnou stránkou, ale takýto intelektuálny nedostatok u väčšiny z vás nevyvolá námietky. A vôbec, nebol by veľký matematik na zodpovednom mieste, ale nebol by múdry v živote a politike? Spomeniem tiež, že Donald Tusk vo svojej bývalej prezidentskej kampani (akoby žartom) povedal: „Nemôžete písať skúšky z matematiky bez sťahovania. Vieš, matematický oblak je tvoj človek, rovnako ako ja. Julian Tuwim bol snobský o svojej neznalosti matematiky. A zavolali ma do predstavenstva. Poznamenám len, že v Poľsku sme mali premiéru v matematike. Bol to (päťkrát) Kazimierz Bartel, 1882-1941, rektor Ľvovskej polytechniky, vynikajúci geometer. Nemôžem a ani sa nepokúšam súdiť jeho vládu.

Utieranie úst je všestranné a staré. Boli o tom napísané knihy, tenké aj hrubé. Existuje veľa spôsobov, o niektorých poviem, začnem s tými, ktoré sú šité hrubými niťami. Možno v minulosti bolo takýchto metód ešte viac, pretože v monumentálnom a prvom svojho druhu Slovníku poľského jazyka Samuel Bogumil Linde (vydané v rokoch 1807-1814) čítame:

matematik, matematický matematik, matematický žonglér.

Nepoznáme najjednoduchšie činy a naozaj sa chceme dokázať. Pred niekoľkými rokmi napísal novinár z Olsztyna dlhý výklad o tom, ako nás výrobcovia klamú. Napríklad: na balení masla je napísané „obsah tuku 85 percent“ – je to 85 percent v kocke alebo v kilograme? Celé Poľsko štebotalo. Ale iba šikovní učitelia matematiky (teda všetci učitelia matematiky!) si pred mnohými rokmi všimli chybu v úvahách jedného z našich bývalých premiérov Kazimira Martsinkeviča. Trochu pozmením čísla, aby to bolo lepšie vidieť. Povedal asi toto: minuli sme 150 miliónov zlotých na výstavbu ciest a 50 miliónov sme dostali z Bruselu, takže minieme len 100. Ušetrili sme 50 percent. No, 50/100 je 50 percent. kde sa stala chyba? A keby sme mali 100 miliónov, koľko by sme ušetrili? Chyba je nenápadná. Keď už hovoríme o percentách, je dôležité si ujasniť, odkiaľ ich máme. Toto je veľmi častá chyba učiteľov. Hovorí sa, že percento je jedna stotina. Toto nie je dovolené! Na sto percent, ale vždy je to niečo. Ak minieme 150 a minieme 100, ušetríme 50 zo 150, čo je 33 %. Premiér Martsinkevič bol učiteľom fyziky. Buď bol taký zlý učiteľ, že percentám nerozumel, alebo ich zámerne manipuloval, aby mal čo najlepší politický efekt. Vlastne by som preferoval to druhé. Dovoľte mi pripomenúť vám veľmi starú, predvojnovú anekdotu. "Ocko, dnes som ušetril 20 centov!" „Je to veľmi dobré, synu! Ako? "Nešiel som električkou do školy, bežal som za ňou!" "Ach, synu, bež druhýkrát pre taxík - ušetríš 5 zlotých!"

Nápady, nápady! Väčšina nápadov takzvaného kreatívneho účtovníctva vychádza z právnych kľučiek (zákon napísaný na kolene = svinstvo) a vymyká sa z predstavy priemeru. Tu je príklad: ako sa dá všetkým zvýšiť mzda a zároveň znížiť priemernú mzdu? Jednoduché: dajte malé zvýšenie platu tým, ktorí už pracujú, a pritom zamestnajte veľa nedostatočne platených ľudí. Priemer klesne... av kontexte celosvetových miezd to neprichádzalo do úvahy. Údajne sa takto správal až do roku 1989 istý riaditeľ štátneho podniku.

Môžete bojovať priamo s využitím matematickej negramotnosti mnohých kruhov spoločnosti a kombináciou matematiky (??) s literatúrou (??). Tu je demagogický, ale fiktívny text (aj keď podľa skutočnej publikácie, pred rokom 2010 do pozornosti).

Sestričky sa budú mať lepšie. Pred dvoma rokmi bola priemerná čistá mzda sestry v okrese Sochaczew 1500 XNUMX PLN. Vláda vlani zvýšila výdavky na zdravotníctvo o pol miliardy zlotých. Bude to dvakrát viac ako v predchádzajúcich rokoch. Hermenegilda Kotsyubinskaya, zdravotná sestra z Centrálnej klinickej nemocnice, hovorí: minulý mesiac bol môj plat 4500 XNUMX PLN. To znamená obrovský, trojnásobný nárast príjmov v zdravotníctve.

Je tu niekto, koho oklamať? Aj keď sú čísla rovnaké, tu môžete vidieť, čo porovnávame. priemerná mzda v provinčnej nemocnici s platom jednej osoby v danom mesiaci. Možno je Hermenegilda vedúcou sestier, možno mala tento mesiac veľa zmien navyše a okrem toho má CRH špeciálnu tabuľku platov? Navyše spomínaných 1500 500 500 PLN je čistá mzda a nie je uvedené, či je mzda pani Kociubinskej čistá alebo hrubá. Pol miliardy je pre jednotlivca obrovská suma, ale čo to znamená na národnej úrovni? Hneď si všimneme, že „pol miliardy“ znie ako lepšia propaganda ako „500 miliónov“. Na čo išlo XNUMX miliónov zlotých sa neuvádza. Nie je známe, prečo XNUMX miliónov zł dvakrát toľko.

Ako môžem zlepšiť svoje vzdelávacie výsledky? Škola X je kritizovaná školskými úradmi za zlé vzdelávacie výsledky (t. j. nízke GPA, hoci ide o iné veci!). Riaditeľ školy nájde spôsob, ako veci trochu zlepšiť. Preloží niekoľkých žiakov z triedy A do triedy B a dosiahne svoj cieľ: priemerné skóre v oboch triedach sa zvýšilo.

Ako je to možné? Ak je v triede A žiak, ktorého GPA je nižší ako priemer v triede A, ale vyšší ako priemer v triede C, presun do triedy B bude mať rovnaký účinok. Viera je založená na tomto účinku Mechislav Chuma i Leshek Mazan, autorov „Galícijskej encyklopédie“ (vydavateľstvo „Anabasis“, Krakov), že v deň, keď sa Žigmund III. Vasa a jeho dvor presťahovali do Varšavy, sa v oboch týchto mestách zvýšila priemerná úroveň inteligencie.

Máme tendenciu interpretovať údaje. Toto je najbežnejší neelementárny úsek. Začnem najhlúpejším, ale spoľahlivým príkladom. Pred mnohými a mnohými rokmi dnes už neexistujúci Express Wieczorny informoval, že priemerný plat na Varšavskej univerzite bude 15000 24 6 złotov (vtedy złoty). Rektor mal poberat najvyssi plat 15, najnizsi zacinajuci asistent XNUMX. Priemer XNUMX!!! manipulácia pojem priemer je námetom na habilitáciu.

Tu sú ďalšie dva príklady. Viete, že priemerný človek v Poľsku má menej ako dve nohy? Áno, sú takí, ktorí majú jeden, ale nikto nemá tri! Druhý príklad je jemnejší. No a s manželkou máme vlastné autá. Môj nosič spotrebuje veľa paliva, 12,5 litra na 100 km. To znamená, že na 100 km potrebujem 8 litrov. Manželka má maličké Mitsubishi - spotrebuje 8 litrov na 100 km. To je tiež veľa, ale aby boli výpočty jednoduché, treba dáta trochu spracovať. Často jazdíme na tom istom. Preto je priemerná spotreba paliva našich dvoch áut aritmetický priemer 8 a 12,5. Pridajte, vydeľte 2. Ukáže sa 10,25 litra. Samozrejme, je dôležité, aby sme často jazdili rovnako. Kde je teda priestor na manipuláciu?

Oh, tu. Vedeli ste, že spotreba paliva v USA sa počíta inak? Odpovedia: "Najazdím toľko míľ z jedného galónu." Nechajme prepočet galónov na litre a míle na kilometre, ale aplikujme to na už spomínané autá: moje a Our Marriage's Sole Review Board. Ja najazdím len 8 km na liter (100 deleno 12,5), manželka 12,5 km (100 deleno 8). V priemere nám jeden liter zaberie ... aritmetický priemer týchto čísel. Už sme to raz počítali. Vychádza to 10 a štvrť – tentoraz 10,25 kilometra.

Vráťme sa k európskym štandardom. Ak najazdím 10,25 km na jeden liter, koľko litrov potrebujete na 100? Vezmime si kalkulačku: 100 delené 10,25 je ... 9,76. Priemerná spotreba našich áut je 9,76 ... a predtým to bolo 10,25. kde sa stala chyba? Nie! Vlastne nie v matematike, ale vo výklade slov „cestujeme rovnako často“. Dôkladná analýza ukáže, že v prvej interpretácii to znamená „najazdíme rovnaký počet kilometrov za mesiac“ a v druhej „spotrebujeme rovnaké množstvo benzínu“. Dalo by sa pridať tretiu premennú: rovnaký čas trávime šoférovaním (manželka jazdí oveľa rýchlejšie)... a bolo by to iné. Ak niečo meriame, musíme mať krajčírsky meter.

jemnejšie situácie. Simpsonov paradox. Skúmame, čo je lepšie na odstránenie lupín: Coca-Cola alebo Pepsi-Cola. Testujeme na ženách a mužoch. Tu sú údaje. Takmer všetky výpočty je možné vykonať v pamäti.

Prosím, čitateľ, posaďte sa. Len aby som nevypadol z pocitu. Aký je najlepší nápoj na odstránenie lupín u mužov? Väčšie čísla som označil červenou a menšie modrou. 25 je viac ako 20, však? Páni: kúpte si kolu na lupiny! A čo ženy? Pravdepodobne naopak? Nie, 60> 53. Dámy, dajte si kolu.

Spoločnosť nakupuje reklamy v televízii, kde sa šťastný pár (po starom: muž a žena) zbavuje tohto mierneho neduhu pomocou Coca-Coly. Ale je tu reklama na Pepsi. Nuž, pretože na teste tu aj tu bolo 250 ľudí, čo znamená, že boli rovnomerne rozdelení. Coca-Cola pomohla 80 ľuďom (32 %), Pepsi pomohla 100 ľuďom, 40 %. Na obrazovke dav zhadzuje lupiny, zatiaľ čo pred kamerou sa kotúľa plechovka Pepsi. "Naša generácia si už vybrala!"

kde sa stala chyba? nie Teda, matematika je fajn. Alebo skôr len aritmetika. Aby sme boli matematicky správne, musíme odobrať porovnateľné vzorky s rovnakým podielom M ako K. Inak výpočty nedávajú zmysel, ako keby sme počítali priemernú hmotnosť komára a slona. Môžeme sčítať a deliť dvomi. Čo sme vypočítali? No, priemerná hmotnosť komára a slona. Čo nám to dá? Vlákno.

Ale vezmime to do politiky, samozrejme do USA. Priaznivci jedného z kandidátov, povedzme Bump, by plakali: sme lepší pre dámy aj pre pánov. Hlasujte za Jozefa Podskoka! Priaznivci Tridenu by na transparenty napísali: Sme najlepší na svete. Hlasujte kačica s 3 brlohmi (Donald).

Dobre, ako to naozaj je? Toto je najťažšia časť. Čo znamená „naozaj“? Môžeme povedať: "Pravda je to, čo súhlasí s realitou." Vynára sa však ďalšia otázka: ako merať „zhodu s realitou“? Ale toto už nie je matematika a rád by som sa jej držal, pretože len tu sa cítim sebavedomo.

O tomto paradoxe (tzv Paradox Simpsonovcov) vychádza z mnohých, mnohých iných. V matematike je známy už sto rokov, no (relatívne) nedávno sa oň zaujímali spoločenské vedy. Všetko to začalo tým, že na jednej z amerických univerzít si rektor všimol, že dievčatá prijímajú oveľa menej ako chlapcov. Požiadala o správy od dekanov... a ukázalo sa, že na každej fakulte bol pomer prijatých a uchádzačov vyšší u dievčat ako u chlapcov – a práve naopak. Odporúčam čitateľovi pretaviť príklad Pepsi a Coca-Coly na situáciu univerzitných katedier.

Ešte jemnejšia situácia. Každý v matematickom svete pozná „príklad z Nebrasky“. Niekde v Nebraske prepadli obchod a vykradli pokladňu. Svedkovia si len pamätali, že to urobil zvláštny pár: muž tmavej pleti s bradou a žena s orientálnymi črtami. Odišli (pneumatiky škrípali ako vo filme) v žltej Toyote. O niekoľko hodín polícia zadržala ... žltú Toyotu, v ktorej bol Afroameričan s bradou v sprievode Aziatky. "To si ty!". Putá, súd. Skúsený matematik vypočítal, že takáto súprava (Černoch + Ázijčan + žltá Toyota) je natoľko unikátna, že sa hľadá 99,999 % lupičov. V sále hádzal naučené pojmy: elementárne deje, Bernoulliho diagram, konjunkcia. Dvojica si išla sadnúť. Najali však najlepšieho matematika, ktorý v odvolaní povedal: „Dobre. Posúďte sami, môj predchodca vypočítal, že pravdepodobnosť, že náhodne narazené auto s dvoma pasažiermi bude žltá Toyota s čiernym a Japonkou je taká a onaká. Tu však musíme vyriešiť ďalší problém, podmienenú pravdepodobnosť. Aká je pravdepodobnosť, že stretnete ďalší pár (alebo tri, ak zapnete stroj), ak vieme, že taký už existuje. »

Či sudca niektorému z argumentov porozumel, nevieme. Snáď len to, že odpoveď závisí od výberu situácie. Stačilo. Trest zrušil.

Úder žrďou do hlavy. Vždy sme zaobchádzali s takouto demagógiou (1).

Bary sú hrozné: ceny uhlia sa zdvojnásobili. Pohľad na čísla je upokojujúci: skutočne vzrástli zo 161 PLN za tonu na 169 PLN (cvičenie: o koľko percent?). Ale keďže sa väčšina ľudí učí vizuálne, zapamätajú si graf, nie čísla. Bez toho, aby som išiel do politických diskusií, musím povedať, že podobný spôsob použila aj vláda (tá z leta 2020), pričom si predstavovala zvýšenie výdavkov na rakovinu. Toto nie je kritika tejto vlády. Nasledujúci bude tiež používať túto metódu. Je bezpečný a má okamžitý účinok ("videný").

Nosme masky. Zákonitosti šírenia epidémií sú jednoduché a „samo o sebe“ neúprosné. Počet nakazených rastie rýchlejšie, čím viac ich je už teraz. Takto ide lavína. To hovorí matematika. Je tu však jedno veľké „ale“ – možno viac ako jedno. Po prvé, je to tak, kým sa „nič nedeje“. Keď sa zastaví lavína v lese, keď sa epidémia spomalí múdrym správaním nás všetkých, nebudeme sa tak „ďakovať“ matematike, ako vytvoriť iný model. Áno, iný matematický model (ako v príklade lúpeže obchodu v Nebraske). Matematika, krásna veda, len pomáha pochopiť svet. Toľko, ale len toľko. Pozrime sa: s tyčou skáčeme takmer šesť metrov, bez nej neskočíme ani 2,50. Potom vezmite tyč do ruky a skočte. Je to sakra otrava, však?

použitie matematika v spoločenských vedách je to ťažké, nebezpečné a čo je horšie, lákavé. Znalci Tatier si to spájajú s roklinou Drege: mierny, trávnatý zjazd z Granátov do Chyorného Stavu... Takto to vyzerá zhora. Čoskoro sa roklina zmení na pascu, z ktorej nás môže zachrániť len TOPR, Tatranská dobrovoľnícka záchranná služba.

Matematici nazývajú tento nárast lavín a epidémií exponenciálnym rastom. Ako som už písal, tento rast sa dá potlačiť, ale nie znova. Pozrime sa však na dva grafy rovnakej krivky (len v inej mierke). Kto pochopí, dávam vzorec tejto funkcie: y = 2^xdvaja k moci. Pozrite sa prosím na grafy. Od akého bodu nastáva prudké zrýchlenie rastu? Každý naznačí: je viac-menej blízko bodu označeného veľkou bodkou. Ale na prvom grafe je táto hodnota blízka 1,5, na druhom je viac ako 3 a na treťom je 4,5. Ak sú vtedy nejaké pouličné demonštrácie, tak môžeme povedať: prosím, od momentu demonštrácie krivka stúpala, prudko stúpala. V sláve matematiky! A to je len vlastnosť exponenciálnej krivky. Zodpovedajúca mierka a bod, od ktorého začína rýchle zrýchlenie, je možné ľubovoľne zvoliť (2).

Prezidentské voľby... samozrejme v USA. Stále si pamätáme frašku z novembra 2020. Krajina, ktorá je stále veľmocou č. 1, sa s počtom strán nevyrovnala. Nakoniec sa to ukázalo Joe Biden nielenže získal viac volebných hlasov, ale vyhral by, ak by sa rozhodnutie prijalo jednoduchou väčšinou. V situácii, ktorú popíšem, nejde o žiadnu matematickú manipuláciu – len o príklad, ako môže výsledok volieb závisieť od prijatého uznesenia. Ak viete, je ťažké protestovať. Obranca vo futbale môže považovať zákaz hádzanej za nesprávny, ale ak ho ignoruje, bude nariadený trest.

Predstavte si, že o gréckeho prezidenta sa uchádzajú: Apollonius, Euclid, volavka, Pytagoras i taký. Koho voliči zvolia, stane sa prezidentom. Je ich 100. Boli zvolení ľudovým hlasovaním a potom strany zastúpené v parlamente, teda Circus Maximus, určili poradie svojich preferencií. Niečo nie je v poriadku, pretože Circus Maximus je latinský názov, nie grécky názov. Ale nehádajme sa so zdrojmi.

Kto sa stane prezidentom? Pozrime sa, ako to závisí od vysviacky. Preferencie strany treba chápať tak, že jej voliči po najbližšom kole budú voliť prvému zo zoznamu, ktorý zostane vo voľbách.

Ak rozsudok určí, že vyhrá kandidát, ktorý dá najviac voličov na prvé miesto, vyhrá Pytagoras, pretože ho bude voliť 25 + 9 = 34 voličov. To sa deje v škole, keď vyberáme napríklad najlepšieho žiaka. U nás: Pytagoras je volený ľudom!
V moderných prezidentských voľbách sa najčastejšie používa systém druhého kola. Hlasujeme za jedného kandidáta, ale ak ani jeden nepresiahne 50 percent, koná sa druhé kolo. Vyhráva ten, kto získa nadpolovičnú väčšinu hlasov, teda jednoducho viac hlasov ako jeho protikandidát. V tomto scenári postúpia do druhého kola Pytagoras (34 hlasov) a Thales (20). V druhom kole si voliči rozdelia hlasy podľa svojich preferencií. Všetci okrem Pytagorejcov uprednostňujú Thalesa pred Pytagorasom. Ide o bežnú situáciu, keď má strana tvrdý voličský základ a obklopuje ju všeobecná nevôľa. V predĺžení teda Pytagoras nezíska ani jeden hlas. Výsledok 66:34 v prospech Thalesa a rozhodujúce víťazstvo. Podobná situácia nastala v roku 2001 na Slovensku, kde kandidát, ktorý jasne vyhral prvé kolo, prehral v druhom. Podobne to bolo aj v prezidentských voľbách v Poľsku v roku 2005: líder bol porazený už v druhom po prvom kole. Nech žijú prezidentské rozprávky!
V cyklistike sa používa takzvaný austrálsky systém. Po každom kole trate vypadne posledný. Táto verzia volebného zákona sa nazýva „voľba riaditeľov“. V rámci tohto systému bol zvolený prvý prezident nezávislého Poľska Gabriel Narutowicz. Ako by to vyzeralo v našom Grécku?

Vec je zložitejšia. Prosím sledujte. V prvom kole Euclid dostal najmenej hlasov a vypadol (aká škoda, taký dobrý matematik!). Strana potom v druhom kole hlasuje za druhého na svojom zozname: Tsaplyu. Volavka má v druhom kole 19 + 10 = 29 hlasov. Apollonius je vyradený (17 hlasov). Strana a potom hlasujte za Heron. V treťom kole má Pytagoras (stály volič) 34 hlasov, Thales 20 a Volavka 29 + 17 = 46 hlasov. Príbehy sú vonku. Pytagorejci nemajú radi ani Falezania (Strana B) - uprednostňujú heroldov. Ostatní tiež, okrem stabilných strán A a E. V záverečnej zákrute Heron poľahky poráža Pytagorasa 66:34. Vivat prezident Heron!

4. Na súťaži Eurovision Song Contest bolo udelených 12 bodov za prvé miesto v zozname, 10 za druhé miesto, 9 za tretie atď. Predpokladajme približne rovnaké skóre 6-4-3-2-1. Body sa teda udeľovali v troch atletických zápasoch (tri tímy, dvaja hráči v každej súťaži, v roku 1958 Poľsko vyhralo proti USA a Veľkej Británii!). Naše výsledky budú nasledovné:

Euklides: 4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz: 2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras: 6+1+1+1+1+6=16.

Gréci, tu je váš prezident Euclid!

5. Čitatelia hádajú, že nám stačí spočítať hlasy, aby sa ukázalo, že Apollonius je najlepší. Vskutku, Apollonius je najlepší – pretože je najlepší. Všetci prehrávajú s Apolloniom! prečo?

Pre koľko voličov umiestnilo Apollonia nad Volavku? Počítajme: 25+17+9=51 znamená väčšinu. Nie veľa, ale predsa.

Ako ďaleko je Apollonius pred Euklidom? 20 + 19 + 17 = 56, väčšina z nich.

Koľkí preferujú Apollonia pred Thalesom: 19+17+10+9=55>50.

Napokon, Apollonius z Pytagoras preferuje 20 + 19 + 17 + 10 = 66 voličov zo 100.

Odvtedy - grécky ľud, schopný logicky myslieť - odvtedy Apollonius najviac zo všetkého uprednostňuje akéhokoľvek iného kandidáta; veď práve on by nám mal vládnuť ďalšie volebné obdobie! Poď bližšie, Apollonius, náš zvolený prezident! Budeš našimi 44.