Geometrické cesty a húštiny
Pri písaní tohto článku som si spomenul na veľmi starú pieseň Jana Pietrzaka, ktorú spieval pred svojou satirickou činnosťou v kabarete Pod Egidą, uznávanom v Poľskej ľudovej republike ako poistný ventil; človek by sa mohol úprimne zasmiať na paradoxoch systému. V tejto piesni autor odporúčal socialistickú politickú participáciu, zosmiešňovanie tých, ktorí chcú byť apolitickí a vypnutie rádia v novinách. „Je lepšie vrátiť sa do školy čítania,“ spieval ironicky vtedy XNUMX-ročný Petshak.
Vraciam sa do školy a čítam. Znovu čítam (nie prvýkrát) knihu Ščepana Jelenského (1881-1949) „Lylavati“. Máloktorému čitateľovi niečo hovorí už samotné slovo. Toto je meno dcéry slávneho hinduistického matematika známeho ako Bhaskara (1114-1185), menom Akaria, alebo mudrca, ktorý týmto menom nazval svoju knihu o algebre. Lilavati sa neskôr sama stala uznávanou matematičkou a filozofkou. Podľa iných zdrojov to bola ona, kto knihu napísal sám.
Szczepan Yelensky dal rovnaký názov svojej knihe o matematike (prvé vydanie, 1926). Dokonca môže byť ťažké nazvať túto knihu matematickým dielom - bola to skôr súbor hádaniek a z veľkej časti prepísaný z francúzskych zdrojov (autorské práva v modernom zmysle neexistovali). V každom prípade to bola dlhé roky jediná populárna poľská kniha o matematike – neskôr k nej pribudla druhá Jelenského kniha Pytagorasove sladkosti. Takže mladí ľudia so záujmom o matematiku (čo som kedysi bol aj ja) si nemali z čoho vyberať...
na druhej strane „Lilavati“ bolo treba poznať takmer naspamäť... Ach, boli časy... Ich najväčšou výhodou bolo, že som bol vtedy... tínedžer. Dnes sa z pohľadu vyštudovaného matematika pozerám na Lilavati úplne inak – možno ako horolezec na zákrutách cesty na Shpiglasovu Pshelench. Ani jedno, ani druhé nestráca svoje čaro... Svojím charakteristickým štýlom Ščepan Jelenskij, ktorý v osobnom živote vyznáva takzvané národné idey, v predslove píše:
Bez toho, aby som sa dotkol opisu národných charakteristík, poviem, že ani po deväťdesiatich rokoch Yelenského slová o matematike nestratili na aktuálnosti. Matematika vás naučí myslieť. je to fakt. Môžeme vás naučiť myslieť inak, jednoduchšie a krajšie? Možno. Len... stále nemôžeme. Svojim žiakom, ktorí nechcú robiť matematiku, vysvetľujem, že je to aj skúška ich inteligencie. Ak sa nemôžete naučiť skutočne jednoduchú matematickú teóriu, potom... možno sú vaše duševné schopnosti horšie, ako by sme obaja chceli...?
Znaky v piesku
A tu je prvý príbeh v "Lylavati" - príbeh opísaný francúzskym filozofom Josephom de Maistre (1753-1821).
Námorníka zo stroskotanej lode vlny vyhodili na prázdny breh, ktorý považoval za neobývaný. Zrazu v pobrežnom piesku uvidel pred niekým nakreslenú stopu geometrickej postavy. Vtedy si uvedomil, že ostrov nie je opustený!
Citujúc de Mestri, Yelensky píše: geometrický obrazecbol by to nemý výraz pre nešťastníka, stroskotanca, náhoda, ale on mu na prvý pohľad ukázal proporcie a počet, a to zvestovalo osvieteného muža. Toľko k histórii.
Všimnite si, že námorník spôsobí rovnakú reakciu, napríklad nakreslením písmena K, ... a akýchkoľvek iných stôp po prítomnosti osoby. Tu je geometria idealizovaná.
Astronóm Camille Flammarion (1847-1925) však navrhol, aby sa civilizácie pozdravili na diaľku pomocou geometrie. V tom videl jediný správny a možný pokus o komunikáciu. Ukážme takým Marťanom pytagorejské trojuholníky... oni nám odpovedia Thalesom, my im odpovieme vzormi Vieta, ich kruh zapadne do trojuholníka, tak sa začalo priateľstvo...
Spisovatelia ako Jules Verne či Stanislav Lem sa k tejto myšlienke vrátili. A v roku 1972 boli dlaždice s geometrickými (nielen) vzormi umiestnené na palubu sondy Pioneer, ktorá dodnes brázdi priestory vesmíru, dnes je od nás takmer 140 astronomických jednotiek (1 I je priemerná vzdialenosť Zeme od Zeme) . Slnko, t.j. asi 149 miliónov km). Dlaždicu navrhol čiastočne astronóm Frank Drake, tvorca kontroverzného pravidla o počte mimozemských civilizácií.
Geometria je úžasná. Všetci poznáme všeobecný pohľad na pôvod tejto vedy. My (my ľudia) sme práve začali merať pôdu (a neskôr pôdu) na tie najužitočnejšie účely. Určovanie vzdialeností, kreslenie rovných čiar, označovanie pravých uhlov a počítanie objemov sa postupne stalo nevyhnutnosťou. Preto celá vec geometria („Meranie Zeme“), teda všetka matematika ...
Tento jasný obraz histórie vedy nás však na nejaký čas zahalil. Ak by totiž matematika bola potrebná len na operačné účely, nezaoberali by sme sa dokazovaním jednoduchých teorémov. „Vidíš, že by to mala byť vôbec pravda,“ povedal by človek po kontrole, že v niekoľkých pravouhlých trojuholníkoch sa súčet druhých mocnín prepony rovná druhej mocnine prepony. Prečo taký formalizmus?
Slivkový koláč musí byť chutný, počítačový program musí fungovať, stroj musí fungovať. Ak som tridsaťkrát spočítal kapacitu suda a všetko je v poriadku, tak prečo inak?
Medzitým už starovekým Grékom napadlo, že treba nájsť nejaké formálne dôkazy.
Matematika teda začína Thalesom (625-547 pred Kristom). Predpokladá sa, že to bol Milétus, kto sa začal pýtať prečo. Chytrým ľuďom nestačí, že niečo videli, že sú o niečom presvedčení. Videli potrebu dôkazov, logickej postupnosti argumentov od predpokladu po tézu.
Tiež chceli viac. Bol to pravdepodobne Thales, ktorý sa ako prvý pokúsil vysvetliť fyzikálne javy naturalistickým spôsobom, bez božích zásahov. Európska filozofia sa začala filozofiou prírody – tým, čo je už za fyzikou (odtiaľ názov: metafyzika). Ale základy európskej ontológie a prírodnej filozofie položili Pytagoriáni (Pytagoras, asi 580-asi 500 pred Kristom).
V Crotone na juhu Apeninského polostrova si založil vlastnú školu – dnes by sme ju nazvali sektou. Veda (v súčasnom zmysle slova), mystika, náboženstvo a fantázia sú úzko prepojené. Thomas Mann veľmi krásne predstavil hodiny matematiky na nemeckom gymnáziu v románe Doktor Faustus. Tento fragment, ktorý preložili Maria Kuretskaya a Witold Virpsha, znie:
V zaujímavej knihe Charlesa van Dorena Dejiny poznania od úsvitu dejín po súčasnosť som našiel veľmi zaujímavý uhol pohľadu. V jednej z kapitol autor opisuje význam pytagorejskej školy. Zarazil ma už samotný názov kapitoly. Znie: „Vynález matematiky: Pythagorejci“.
Často diskutujeme o tom, či sa matematické teórie objavujú (napr. neznáme krajiny) alebo vymýšľajú (napr. stroje, ktoré predtým neexistovali). Niektorí kreatívni matematici sa považujú za výskumníkov, iní za vynálezcov či dizajnérov, menej často kontrujú.
Ale autor tejto knihy píše o vynáleze matematiky všeobecne.
Od preháňania k bludu
Po tejto dlhej úvodnej časti prejdem na úplný začiatok. geometriaopísať, ako môže prílišné spoliehanie sa na geometriu zavádzať vedca. Johannes Kepler je vo fyzike a astronómii známy ako objaviteľ troch zákonov pohybu nebeských telies. Po prvé, každá planéta v slnečnej sústave sa pohybuje okolo Slnka po eliptickej obežnej dráhe, v jednom z ohniskov ktorého je Slnko. Po druhé, v pravidelných intervaloch vedúci lúč planéty, čerpaný zo Slnka, kreslí rovnaké polia. Po tretie, pomer druhej mocniny periódy otáčania planéty okolo Slnka ku tretej mocnine hlavnej poloosi jej obežnej dráhy (t. j. priemerná vzdialenosť od Slnka) je konštantný pre všetky planéty slnečnej sústavy.
Možno to bol tretí zákon – na jeho stanovenie bolo potrebné množstvo údajov a výpočtov, čo Keplera podnietilo pokračovať v hľadaní vzorcov pohybu a polohy planét. História jeho nového „objavu“ je veľmi poučná. Od staroveku obdivujeme nielen pravidelné mnohosteny, ale aj argumenty, ktoré ukazujú, že vo vesmíre je ich len päť. Trojrozmerný mnohosten sa nazýva pravidelný, ak sú jeho steny identické pravidelné mnohouholníky a každý vrchol má rovnaký počet hrán. Pre ilustráciu, každý roh pravidelného mnohostenu by mal „vyzerať rovnako“. Najznámejším mnohostenom je kocka. Každý videl obyčajný členok.
Menej známy je pravidelný štvorsten a v škole sa mu hovorí pravidelná trojuholníková pyramída. Vyzerá to ako pyramída. Zostávajúce tri pravidelné mnohosteny sú menej známe. Osemsten vznikne, keď spojíme stredy hrán kocky. Dvanásťsten a dvadsaťsten už vyzerajú ako gule. Vyrobené z mäkkej kože, bude sa v nich pohodlne kopať. Úvaha, že neexistujú žiadne iné pravidelné mnohosteny ako päť platónskych telies, je veľmi dobrá. Najprv si uvedomíme, že ak je teleso pravidelné, potom rovnaký počet (nech q) rovnakých pravidelných mnohouholníkov sa musí zbiehať v každom vrchole, nech sú to p-uhly. Teraz si musíme zapamätať, aký je uhol v pravidelnom mnohouholníku. Ak si niekto nepamätá zo školy, pripomíname, ako nájsť ten správny vzor. Urobili sme si výlet za roh. V každom vrchole otočíme o rovnaký uhol a. Keď obídeme polygón a vrátime sa do východiskového bodu, urobili sme p takýchto zákrut a celkovo sme sa otočili o 360 stupňov.
Ale α je 180-stupňový doplnok uhla, ktorý chceme vypočítať, a preto je
Našli sme vzorec pre uhol (matematik by povedal: miery uhla) pravidelného mnohouholníka. Skontrolujeme: v trojuholníku p = 3 nie je a
Páči sa ti to. Keď p = 4 (štvorec), potom
stupňa je tiež v poriadku.
Čo dostaneme za päťuholník? Čo sa teda stane, keď existuje q mnohouholníkov, pričom každý p má rovnaké uhly
stupňov klesajúcich v jednom vrchole? Ak by to bolo v rovine, vytvoril by sa uhol
stupňov a nemôže byť viac ako 360 stupňov - pretože vtedy sa polygóny prekrývajú.
Keďže sa však tieto mnohouholníky stretávajú v priestore, uhol musí byť menší ako celý uhol.
A tu je nerovnosť, z ktorej to všetko vyplýva:
Vydeľte ho 180, vynásobte obe časti p, poradte (p-2) (q-2) < 4. Čo nasleduje? Uvedomme si, že p a q musia byť prirodzené čísla a že p > 2 (prečo? A čo je p?) a tiež q > 2. Nie je veľa spôsobov, ako urobiť súčin dvoch prirodzených čísel menším ako 4. Uvediem ich všetky v tabuľke 1.
Kresby nezverejňujem, tieto obrazce si môže každý pozrieť na internete... Na internete... neodmietnem lyrickú odbočku - možno je to zaujímavé pre malých čitateľov. V roku 1970 som vystúpil na seminári. Téma bola ťažká. Mal som málo času na prípravu, po večeroch som sedel. Hlavný článok bol na svojom mieste len na čítanie. Miesto bolo útulné, s pracovnou atmosférou, no, zatváralo sa o siedmej. Potom sa nevesta (teraz moja manželka) sama ponúkla, že mi prepíše celý článok: asi tucet tlačených strán. Skopíroval som to (nie, nie brkom, dokonca sme mali perá), prednáška sa vydarila. Dnes som sa pokúsil nájsť túto publikáciu, ktorá je už stará. Pamätám si len meno autora... Hľadanie na internete trvalo dlho... celých pätnásť minút. Premýšľam o tom s úškrnom a trochu neopodstatnenou ľútosťou.
Vraciame sa do Keplera a geometria. Platón zrejme predpovedal existenciu piatej regulárnej formy, pretože mu chýbalo niečo zjednocujúce, pokrývajúce celý svet. Možno preto dal pokyn študentovi (Theajtet), aby ju hľadal. Ako bolo, tak bolo, na základe čoho bol objavený dvanásťsten. Tento postoj Platóna nazývame panteizmus. Všetci vedci, až po Newtona, mu vo väčšej či menšej miere podľahli. Od vysoko racionálneho osemnásteho storočia sa jeho vplyv drasticky zmenšil, hoci by sme sa nemali hanbiť za to, že mu všetci tak či onak podľahneme.
V Keplerovom koncepte budovania slnečnej sústavy bolo všetko správne, experimentálne údaje sa zhodovali s teóriou, teória bola logicky koherentná, veľmi krásna...ale úplne falošná. V jeho dobe bolo známych iba šesť planét: Merkúr, Venuša, Zem, Mars, Jupiter a Saturn. Prečo existuje iba šesť planét? spýtal sa Kepler. A aká pravidelnosť určuje ich vzdialenosť od Slnka? Predpokladal, že všetko so všetkým súvisí, že geometria a kozmogónia spolu úzko súvisia. Zo spisov starých Grékov vedel, že existuje len päť pravidelných mnohostenov. Videl, že medzi šiestimi obežnými dráhami je päť dutín. Takže možno každé z týchto voľných miest zodpovedá nejakému pravidelnému mnohostenu?
Po niekoľkých rokoch pozorovania a teoretickej práce vytvoril nasledujúcu teóriu, pomocou ktorej pomerne presne vypočítal rozmery dráh, ktoré prezentoval v knihe „Mysterium Cosmographicum“, vydanej v roku 1596: Predstavte si obrovskú guľu, ktorého priemer je priemerom obežnej dráhy Merkúra pri jeho ročnom pohybe okolo Slnka. Potom si predstavte, že na tejto guli je pravidelný osemsten, na nej guľa, na nej dvadsaťsten, na nej opäť guľa, na nej dvanásťsten, na nej ďalšia guľa, na nej štvorsten, potom opäť guľa, kocka. a nakoniec, na tejto kocke je opísaná guľa.
Kepler dospel k záveru, že priemery týchto po sebe idúcich sfér sú priemery obežných dráh iných planét: Merkúra, Venuše, Zeme, Marsu, Jupitera a Saturnu. Teória sa zdala byť veľmi presná. Bohužiaľ, toto sa zhodovalo s experimentálnymi údajmi. A čo môže byť lepším dôkazom správnosti matematickej teórie ako jej súlad s experimentálnymi údajmi alebo pozorovacími údajmi, najmä „vzatými z neba“? Tieto výpočty zhŕňam v tabuľke 2. Čo teda urobil Kepler? Skúšal som a skúšal, kým to nevyšlo, teda keď sa konfigurácia (poradie gúľ) a výsledné výpočty zhodovali s pozorovacími údajmi. Tu sú moderné Keplerove údaje a výpočty:
Človek môže podľahnúť fascinácii teóriou a uveriť, že nepresné sú merania na oblohe a nie výpočty robené v tichosti dielne. Žiaľ, dnes vieme, že planét je minimálne deväť a že všetky zhody výsledkov sú len náhoda. Škoda. Bolo to tak krásne...
